IM

Telle est la formule que nous avions en vue. Elle est très avantageuse, surtout lorsque V intervalle {a. b) est déjà suffisamment resserré; car, dans ce cas, 1i étant petit, h- lest beaucoup plus et Von peut arriver tout de suite à une approximation considérable.

Remarque. — Voici une remarque assez importante sur l'application de la formule (i5). On commence par v faire h ^\b — n\; on en déduit alors une limite supérieure s, de Iî]. Mais on peut en déduire immédiatement un intervalle plus petit que \ b — a\ comprenant à coup sur la racine. Si 1 on suppose, |)our fixer les idées. a<ib., on est certain que la racine est<<:r( + î|. On peut donc prendre maintenant, comme seconde valeur de h. le nombre Xi + Si — a, qui donnera une nouvelle limite supérieure s', de l'erreur commise en prenant x,^ comme racine. Cette limite z\ pourra être beaucoup plus petite que î,, surtout si le nombre a était déjà très approché de la racine.

27;2. Conseils pratiques. — Voici comment nous conseillons au lecteur d'appliquer dans la pratique les méthodes précédentes :

i" L' intervalle [a. b) donné par la sépai-alion des racines est généralement beaucoup trop grand pour qu'il soit avantageux de lui appliquer directement une méthode d' approximation. Il faut commencer par le' resserrer en substituant dans f(x) des nombres de plus en plus rapprochés de la racine et examinant les signes des résultats obtenus.

2° Pour faire des substitutions successives dans f(x), il convient d'observer quelques simplifications |)ossibles. D'abord, si f(x) est un polynôme de degré assez élevé, il est avantageux d'utiliser la règle de division par x — a (n" 203). En second lieu, il arrive un moment où les nombres à substituer sont très voisins les uns des autres. 11 est alors commode de procéder comme il suit. Soit Xq un des nombres à substituer qui soit à peu près leur moyenne arithmétique. On a à calculer des quantités de la ïorme f(xo-{- h) pour de petites valeurs de h. Dès lors, il est tout inditpié de prendre le déve-

loppemciit de J\xo-\- h) suùant les puissances croissantes de h^ par exemple au moyen de la formule de Tajlor. On calcule une fois pour loules les premiers coefficients de ce développement. On n'a plus ensuite qu'à substituer les diverses valeurs de /t, en suivant la règle pratique indiquée pour le calcul numérique des séries (n" oi).

3° Calculs auxilicnres. — On admet généralement, pour les calculs auxiliaires, la règle empirique (jui consiste à les effectuer avec deux décimales de plus cjue le nombre de décimales exigé pour la racine. Cela peut se justifier d'une manière plus ou moins rigoureuse par un raisonnement analogue à celui fait à la page 63 à propos des séries.

4° Après chacjue application d'une des méthodes cV approximation, on doit ccdculer une limite de terreur el\o\v si elle rentre dans l'appi'oximation demandée. Sinon, il faut appliquer une nouvelle fois la méthode.

!273. Méthodes graphiques. — Il nous reste à parler des méthodes dites graphiques, dont I importance pratique est tout à fait considérable. La manière de les applujuer varie d'un exemple à l'autre et peut donner lieu à des théories tout à fait ingénieuses, qu'on désigne sous le nom général de nomographie. Sans vouloir pénétrer plus avant dans cette science intéressante, nous allons indiquer seulement quelques procédés très simples et tout à fait courants.

En premier lieu, pour résoudre l'écpialion

(iG; f{x) = o,

il est évident qu'^V suffit de construire la courbe y =f{x) et de prendre ses points d^ intersection avec Ox. Le travail préparatoire à cette construction est d'ailleurs tout fait si l'on a déjà séparé les racines, puisque pour cela on a du ('ludier les variations àe f[x). Il ne reste plus qu'à construire avec la plus grande précision possible les portions de la courbe voisine de Ox. On mesure ensuite au don bl(;-déci mètre les abscisses des points de rencontre et, en tenant compte de l'échelle du dessin, on a les racines cherchées avec une approximation d'autant |)lus grande qu'on a dessiné plus correcte-

ent et à une plus grande échelle.

Conformément à la remarque II du n" t2()i. // ^'.s7 quchiuefois

EQUATIONS A COEFFICIENTS NI MERIOl'ES. 343

avantageux de multiplier ou diviser au préalable Véquation par un facteur convenable, de manière à simplifier la construction, quitte à tenir compte, s'il y a lieu, des racines introduiles ou supprimées.

Une autre méthode, dont la précédente est du reste un cas particulier, consiste à mettie V équation sous la forme

puis à prendre l'intersection des courbes y =f(x) et y ^ g(x). Les abscisses des points de renconire sont manifestement les racines cherchées. Comme il se présente généralement différentes manières de mettre réquation proposée sous la forme (17), il faut toujours examiner quelle est celle cjui donnera lieu aux constructions les plus aisées. P;ir exemple, on jieut essayer de se ramener à des courbes classiques de formes bien connues, telles que droite, cercle, coniques, sinusoïde, courbe exponentielle, etc. (').

Remarques. — I. Cette seconde méthode graphique est ciuelquefois très commode pour la séparation des racines.

II. Quand on a déterminé une racine « par une méthode graphique, on peut en déduire généralement une valeur Xi beaucoup plus apjprochée en lui appliquant la méthode de lYeivton, quand bien même la condition relative à la dérivée seconde (11" 270) ne serait pas

rig. 44.

réalisée. Cela lient à ce que le point A se trouvant déjà très près du point C, le point Ci en sera encore beaucoup plus près, même si Ton se trouve dans le cas de la figure \/\.

(') Le Iccleur trouvera une élésaïUe mélhode graphique de résolution de l'cqualion du quatrième def;rc dans Leçons, t. II, p. '(O'J-

344 CHAPITRE WII. — KOUATIONS A COEFFICIENTS M MKIIIQI'ES.

271. Résolution de deux équations à deux inconnues. — Soil le sjslènie

(18) /(a-o') = o, g{ar,y) = o.

On peut le résoudre approxiiiialiveineuL sans être obligé de faire aucune éliniiiialion, comme nous l'avons [)iescril au n" 237.

On constraif le plus exactement possible les deux courbes (iS) (1. in el l'on mesure les coordonnées de leurs points d'intersection. A cliaque point correspond ainsi une solution approchée (^a, b).

On peut en déduire ensuite une solution plus approchée par une méthode cjui est V extension de celle de Newton. Soit (« + h, b -h A.) la solution exacte voisine de la solution approchée (a, b). On a

/{a -h h, b ^ /t) = o, ff(n -^ /i, l> ^ k) = o.

Développons par la formule de Tavlor (n" 132), en négligeant les termes d'ordre supérieur au premier :

I ^ ( a, 6 ) H- /j^;, ^ Agr',, = o.

On obtient deux équations du premier degré en h, k; on les résout et l'on j)rend comme deuxième approximation la solution [a+h, b+A). A cette dernière, on peut appliquer de nouveau la même méthode, el ainsi de suit<'.

On conçoit (|u'on puisse de même étendre la méthode de Newton à un système de 3, 4, • • • équations à 3, 4, • • • inconnues. Mais la difficulté est alors de trouver la première approximation, pour laquelle on ne peut jjlus emplover la méthode graphique.

27o. Inversions d'une permutation. — Écrivons sur une ligne horizonlale une perniut;ition ( n" 16) de n nombres diflérents, par exemple des n premiers nombres entiers. On dit que deux de ses termes présentent une inversion si celui de gauche est plus grand que celui de droite. En faisant toutes les combinaisons des termes deux à deux (n"22), on peut compter le nombre total des inversions. Suivant que ce nombre est pair ou impair, la permutation est àiie paire on impaire.

Théorème I. — Si Ion échange deux termes, la parité change.

1° Les termes échangés sont consécutifs. Il n'y a que ces deux termes dont la position relative soit changée. Leur combinaison est donc la seule qui puisse modifier le nombre des inversions, ce qui prouve, de manière évidente, que ce dernier est augmenté ou diminué d'une unité et, par suite, change de parité.

2" Les termes échangés ne sont pas consécutifs. Soit à comparer les deux permutations Aay, Vo . . .y^ [iB et A|3y, ya • • • Y/*^-^' -^ ^^ ^ y désignant les mêmes ensembles de termes. Nous pouvons passer de la première à la seconde en échangeant successivement a avec v,, '{■2, ■■> ^(p^ ?5 puis [B avec y^,, ^(p^ \i • • ., yi, ce qui fait en tout ip + i échanges de termes consécutifs, donc (i") ip-\-\ changements de parité et par suite un changement définitif de parité.

THÉonp;\iE J I . — Si r on supprime le premier terme y.fT une permutation, le nombre des inversions est diminué de y. — i .

Car on suppiime les inversions ])rësentées par a avec cliacun des a — 1 termes plus petits (') qui le suivent dans la permutation.

276. Définition d'un déterminant. — Imaginons n- quantités, que nous désignerons sous le nom général d'é/é/nents et qui pourront être des nombres donnés ou des variables (n"o6). Ecrivons-les suivant un Tableau carré possédant n lignes horizontales et n colonnes verticales. Numérotons les lignes de haut en bas et les colonnes de iraucbe à droite. Nous représenterons |)ar la notation a^ l'élément qui se trouve à l'intersection de la a'"""' ligne avec la a''"""' colonne ; de sorte que notre Tableau s'écrit :

Cela posé, choisissons-y arbitrairement n éléments, sous la seule condition que dans chaque ligne et dans chaque colonne Jigure un cVentre eux et un seul. Formons leur produit, soit

les différents facteurs étant du reste écrits dans un ordre quelconque. En vertu de la condition ci-dessus énoncée, les indices a, ^, ..., \ constituent une |)ermiitation des nombres 1,2, ..., n, de même que les indices a', |îi', ..., )/. Soient I et F les nombres d'inversions correspondants. On appelle terme du déterminant l'expression

(— i)' + ''«*'rtê'.

c'est-à-dire le produit (•>.) précédé du signe + ou du signe — , suivant que les permutations inférieure et supérieure ont ou. n^ont pas la même parité. 11 est à remarquer d'ailleurs (pie ce signe est indépendant de lortlre dans lequel on écrit les facteurs diulit produit, car modilier cet ordre é(pii\aul, comme on >ail, à faire un

(' ) On su [) pose, bien en ton du, avoir y Maire à um- [FeriiiuL.it ion des m > m lires 1, a,. . .,«. S'il s'agissait de nombres quelconques lous diirérenls, a devrait désigner le rang que possède le terme considéré quand on écrit les nombres par ordre de grandeur croissante.

DÉTKK.MINANTS. 347

certain nombre d'échanges de termes, lesquels modifient simultanément Jes parités de I et de I' (n° 275) et, par suite, ne changent pas la parité de I -h 1'.

En choisissant de toutes les manières possibles les éléments a*, ..., «X , on obtient de la sorte un certain nombre de termes. La somme de tous ces termes est, par définition ('), le déterminant D déduit du Tableau (i). On peut donc écrire

Nous avons vu qu'il était permis d'écrire les éléments constitutifs de chaque terme dans un ordre arbitraire. On peut profiter de cette latitude pour amener par exemple les indices su|)érieurs dans l'ordre naturel, auquel cas 1'= o. On a donc

et l'on voit que la formation des différents termes équivaut à celle du Tableau des permutations des nombres i, 2, ...,/?. Le nombre de ces termes est donc n ! (n° 18).

On appelle terme principal le terme a\ a't . . . a''/, ses éléments sont ceux de la diagonale principale du Tableau (i).

On appelle ordre d'un déterminant le nombre de ses lignes (ou colonnes).

On représente ordinairement un déteiniinant par le Tableau dont il est tiré, placé entre deux traits verticaux :

Celte notation est la seule possible quand les éléments sont numériques. Lorsfju'on représente, au contraire, ceux-ci à la manière ci-

(') Le lecteur trouvera sans doute, et ajuste titre, que celte délinilion est bien artificielle. En réalité, c'est par létude des équations linéaires et après des tâtonnements nombreux qu'on est arrivé à cette théorie moderne et si féconde des déterminants. Mais ce n'est pas ici le lieu d'en faire l'historique. Le lecteur trouvera, s'il le désire, une exposition plus détaillée dans Leçons, n" i;]9.

o48 CHAPITRE XXIII.

dessus, on peut écrire, suivant trois nolalions abrégées également usilées,

(7) D = |lfli a] .., a'l\\=\n'.\ = {a\,a\, ...,al).

Remarque. — Il est manilesle qu'on ne change rien à lonl ce qni précède si l'on rem|)lace les indices atFectés aux lignes et aux colonnes par des nombres quelconques, à condilion (|ue ceux-ci croissent de haut en bas, po'.ir les lignes, et de gauche à droite, pour les colonnes. Cela ne modifie en effet nullement les nombres 1 et 1'.

277. Propriétés des déterminants. — f^es déterminants jouissent de |)ropriétés fort élégantes, que nous allons maintenant exposer.

TnÉoiiliME 1. — Un déterminant ne change pas de valeur quand on échange ses lignes ai^ec ses colonnes.

L'échange des lignes et des colonnes consiste à remplacer cha(|ue élément par l'élément symétrique par ra|q)ortà la diagonale principale. On obtient de la sorte un déterminant | />/ 1 tel que l'on ait, pour toutes les valeurs de a et a', ^*= a^,. Les deux déterminants sont bien égaux, car il en est ainsi des termes correspondants (-,)'-"««'4'....,ret(-.)''-'^S.4...^i,.

CouoLLAiiiE. — Toute propriété démontrée pour les lignes est vraie pour les colonnes et réciproquement. Cela était d'ailleurs à prévoir d"a|jrès la définition même des déterminants, où les lignes et les colonnes jouent exactement le même rôle.

Déterminants symétriques et symétriques gauches. — Un déierminanl est symétrique lorsque les éléments sjmétri(]ues par rapport à la diagonale principale sont égaux. Il esi symétriq ue gauche \oYS(\ue ces éléments sont opposés, ceux de la diagonale elle-même étant par suite nuls. Pour un tel déterminant, l'échange des lignes et des colonnes écpiivaut au changemenl de signe de tous les éléments. iJautie part, la formule (4) montre qu'un Ici changement mulliplie le déterminant par ( — 1)". De sorte que si n est impair, on a, en s'ap))uyanl sur le théorème 1, D = — 13, donc D = o. Par conséquent, tout déterminant symétrique gauche d^ordre impair est nul.

DKTERMINANTS. 349

!278. Théorème II. — Si Von échange deux rangées parallèles^ le déterminant change de signe.

Echangeons, par exemple, dans D les lignes de rangs p et q. Nous obtenons le déterminant D, = |6^|, tel que bj=a-j pour toutes les valeurs de i et dey', sauf pour i =^ p ou q, auxquels cas on a b' =^a^^ b-' — a^ . Cela posé, prenons un terme quelconque de D et écrivons-le en mettant en évidence les éléments des lignes p et ^, que nous pouvons supposer par exemple écrils les deux premiers (n° 276), soit

Faisons-lui correspondre le terme suivant de D,

Les éléments des deux termes sont deux à deux égaux. En outre, on a visiblement I'^ ^ F, I, ^ I riz i . Donc, les deux termes sont opposés et par suile aussi les deux délerminatils.

Corollaire. — Si Ion permute les colonnes d'une manière quelconque, on obtient un déterminant D'= || rt'JV/ '(...«', j|, qui est égal à D, au signe près, puisque loute permutation équivaut à un certain nombre d'échanges de colonnes. Pour avoir le signe, il suffit de comparer deux termes composés des mêmes éléments. Par exemple, le terme ])rincipal de D' est rt^'«^. . .«J^. Le terme correspondant de D est ( — iVrt'î'<:/^. . .a]i, I désignant le nombre d'inversions de la permutation (p, rj. ..., s). Donc

Thf.oriîme 111. — Tout déterminant qui a deux rangées parallèles identiijues est nul.

En effet, si Ion échange ces deux rangées, le déterminant ne change pas. Comme il doit, d'autre part (théorème II), changer de signe, il est nécessairement nul.

^TD. Développement d'un déterminant. — Considérons, dans le déterininan[ D. tous les termes cpii contiennent un élément donné rtj^. Si Ion y met cel élément eu facteur, ou (ilihcnl une expression de la l'orme a'' A'', où A''^ désigne un certain coefficient, qui, a priori,

35o CHAPITRE XXIII.

ne peul renfermer aucun des éléments de la ligne p ni de la colonne q et qu'on appelle Le mineur relatif à a'i,.

Calculons ce niineur. A cet efVel, choisissons dans l'expression (4) de D tous les termes pour lesquels on a y. = p et a'=r/. La somme de ces termes est évidemment a'jjA'^ . Donc

le signe 1' indiquant qu'on doit permuter de toutes les manières possibles les indices ,j, . . ., A et les indices |j', .... )/. J3e là, on tire