I + IV

Dans cette formule ([j, y,..., À) est une permutation quelconque des nombres i, 2, ..., n, desquels on aurait retranché p; nous savons (n" 27o) que le nombre 1| de ses inversions est égal à I — (p — 1). De même, (p',y', ..., a' ) est une permutation quelconque des nombres I, 2, ..., /?, desquels on aurait retranché q; le nombre 1', de ses inversions est égal à I' — [q — ■ i). Dès lors, on peut écrire

Or, si l'on se reporte au n" 1270 et, en particulier, à la remarque qui le termine, on constate que la somme i' du second membre n'est autre que le délerminant D^ déduit de D par la suppression de la ligne pet de la colonne q.

On a donc finalement \di formule très importante

Développement suivant la ligne p. — On peut décomposer D en n grouj)es composés respectivement des termes qui contiennent a^, a^^, ..., «^', puisque tout terme doit contenii- un élément et un seul de la ligne/?. On obtient ainsi la formule

(9) D = «j, A;,-i- al A2 4-. . . ^ a'l,K';,\

qui constitue le développement du déterminant suivant les éléments de la p'''""^ ligne.

On peut de même développer suivant les él(Mn«jnls d'une colonne, soit

(10) \) = a'[ \\ -f- a'/ A^ -+-... + al Kl

DKTKRMINANTS.

D'après cela, le calcul tl'uu dclenninanl J'oidre n est ramené à celui de n délerniinants d'ordie n — i, et, par suite, de proche en proche, à celui d'un certain nombre de délerniinants du premier ordre, lesquels se réduisent chacun à leur uni(|ne clément. Telle est la véritable méthode pratique qu'on emploie ordinairement pour le calcul numérique des déterminants.

280. Par exemple, le déterminant du second ordre loppé suivant la première ligne, donne

déve-

(II

=^ ab' — ba ,

résultat qu il est d ailleurs aussi aisé d établir directement en s'appujant seulement sur la définition des déterminants. Soit encore le déterminant du troisième ordre

Développons-le suivant la première ligne, en nous servant de (i i ),

D = a{b' c" — c' b" ) h- b( c' a" — ci c" ) h- a a' b" — b' a" ) =^ ab' c" -^ bc' a" -^ ca' b" — cb' a" — ba c" — ac b" .

On peut aisément retenir ce dévelop|)ement au moyen de la règle suivante, dite règle de Sai'rus : Les termes positifs sont fournis par la diagonale principale et par deux triangles isoscèles dont les bases sont [)arallèles à cette diagonale (nous les avons tracés en pointillé) ; les termes négatifs s'obtiennent de manière analogue en partant de la seconde diagonale.

281. Conséquences diverses. — Outre le calcul numérique des déterminants, on peut tirer des formules (9), (lO) diverses apjdications intéressantes. Signalons d'abord les idenlités telles que la suivante

a},k],+ a},kfr

352 C!1APITRF. WIII.

Le premier membre est, en efFel, le développement, suivant la ^^lerac jjope^ du déterminant D dans lequel on aurait remplacé les élémenls de rcttc y>""'*' ligne par ceux de la ^'^"••^' ( '). Or^ nous savons cpi un tt'l d(''terminant est nul (n"278). On a de même

■ Thcouème I. — Si l'on multiplie tous les i'iémenls cl une rangée par un même nombre^ le déterminctnt est multiplié par ce nombre.

Il suffit, pour s'en rendre compte, de développer suivant cette rangée.

THÉoui-:Mi!: 11. — ■ Tout déterminant qui a deux rangées parallèles proportionnelles est nul.

Car on peut multiplier les éléments d'une de ces deux rangées par un nombre tel que les deux rangées deviennent identiques, anf|uel cas on est ramené au théorème 111 du n" 278.

Théorî^me III. — Si les éléments d' une rangée sont constitués chacun par une somme de k éléments partiels (-), on peut décomposer le déterminant en une somme de /. déterminants., obtenus en réduisant successivement les éléments considérés aux i*"", a*", . . . , A"'""' éléments partiels.

En ellet, supposons par exemple (|u'on ail, j)Our la ligne /;, a'i, = to'j -h tu'., -h . . . -h u>'^. ( i = i , 2, . . ., n).

Portons dans la formule (9) :

(i5) D = Vio^A;,-4-ytu^AJ, + ... + V,.,lA;^.

(') Une Iclle moflifiration laisse inallért-s les mineurs A,',, A^,. .... A",, puisqu'ils ne dépendent pas des éléments de la p''"'^ ligne.

(') Si certaines sommes comprennent, moins do /. éii'rricuts partiels, on remplace les éléments manquants |)ar des zéros.

Or N co'i A'.,, par exemple, n 'es l autre que le développement, sui-

vaut la />'^"* ligne, du délerminant D dans lequel on aurait réduit les éléments aux premiers éléments partiels. Dès lors, la formule (i5) démontre le théorème.

Théorème IV. — On ne change pas la valeur cV an déterminant quand on ajoute aux éléments d^ une ligne les éléments correspondants d^une autre ligne multipliés tous par un même nombre arbitraire.

Il suffit, pour le voir, de décomposer le déterminant obtenu en deux déterminants partiels, au moyen du théorème précédent. L'un de ceux-ci est le déterminant proposé; l'autre est nul, en vertu du théorème II précédent.

Ce théorème est très utile pour la simpiilication de certains déterminants. C'est ainsi que, si les éléments de deux lignes sont prestpie tous égaux deux à deux, il j a avantage à les retrancher l'une de l'autre, car on fait apparaître de la sorte un grand nombre d'éléments nuls. Nous verrons du reste divers exemples de simplifications de celte nature dans les exercices correspondant à ce Chapitre et aussi dans la suite de cet Ouvrage.

282. Dérivée d'un déterminant. — Une application immédiate du théorème IH est le calcul de la dérivée d'un délerminant dont les éléments sont des fonctions d'une certaine variable x. Supposons, par exemple, que les éléments «^ du déterminant (6) soient des fonctions de x, admettant des dérivées a/ . Il est clair que D est aussi une fonction de x. Cherchons sa dérivée.

Donnons à x l'accroissement \x] D devient

D -f- AD = Il a] -r- \al aj ~ \aj . . . a'^ -^ Aa," || .

Chaque élément de ce déterminant est une somme de deux éléments partiels. On peut donc le décomposer en une somme de déterminants, obtenus en réduisant les éléments à leurs premiers termes pour certaines lignes et à leurs seconds termes pour les autres lignes. En prenant les premiers termes dans toutes les lignes, on oblienl D; de sorte que AD est la somme des autres déterminants o. IIa.vg. — Cours. I. 20

Divisons ceux-ci par A:r et clicichons la limite pour A.r = o. A cet elTet, nous divisons par A:c, dans chaque déterminant o, une ligne formée par des accroissements, par exemple la ligne \<i] \cq . . . ^a'I . A la limite, elle devient a^ a'-' . . .a'-" . S'il y a d'autres lignes d'accroissements, elles deviennent des lignes de zéros; le déterminant devient nul('). Sinon, ii devient égal au déterminant obtenu en reiliplaçant, dansD, les éléments de la /'^""' ligne par leurs dérivées ( ' ). La limite de - — est la somme de tous les déterminants analogues (-). Finalement, on ])eut énoncer la règle suivante :

Règle. — La dérivée cV un déterminant d^ ordre n est la somme des n déterminants obtenus en y remplaçant les éléments d\ine ligne et d' une seule par leurs dérivées, celte ligne occupant successivement les rangs i, 2, . . ., //.

On a évidemment une règle analogue pour les colonnes.

283. Multiplication des déterminants. — Soient deux déterminants d'ordre /t, E) = | aj\ et 1^'^ ] b'j\- Considérons le déterminant A dont l'élément général c;^ est donné par la formule

C/ = a] bj ■+■ aj bj

a'Ib'j

Je dis que A := D.D'. En effet, les éléments de la première colonne de A sont des sommes de n éléments partiels ; on peut donc, conformément au théorème III du n° 281 , décomposer A en n déterminants partiels. Dans chacun de ceux-ci, on peut faire une décomposition analogue relativement à la deuxième colonne; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on nait plus, dans chaque déterminant, (pie des éléments réduits à un seul élément partiel. Il est visible que les déterminants finalement obtenus sont tous de la forme

af.b'l a'{b'l a'U'': a'UA

a'nb'l alb'!.

(') Il faut remarquer, à ce propos, que loul déterniinanl est une fonclion conliiuie d'un nombre quelconque de ses éléments, comme étant un polynôme.

(-) Le lecteur pourra les écrire tout au long en prenant, par exemple, un déterminant du troisième ordre; la démonstration lui semblera peut-être plus claire, tout en étant aussi générale.

y>, q^ ..., s désignanl ccrlaius des nombres i, 2, ..., n. En remarquant que b^l est en facteur dans la première colonne, b\ dans la seconde, ..., b\^ dans la /?'*""'', on peut écrire (n" 281, théorème I)

Or, le déterminant 0' est nul comme ayant deux ou jjlusieurs colonnes identiques si deux ou plusieurs des nombres/», q, ..., 5 sont égaux. S'ils sont tous différents et si Ton appelle I le nombre des inversions de la permutation (p, q, — s), il est égal à ( — i)'D (n" 278). Mettant ainsi D en facteur dans tous les déterminants 0 qui ne sont pas nuls, nous avons

A = D.i:(—iyb';b'!,...bi.

Mais la somme I] est, par définition, le déterminant D'. Donc

La multiplication telle que nous venons de l'effectuer est appelée jyiultiplication ligne par ligne, en ce sens qu'on obtient l'élément général c/ du produit en multipliant les éléments de la ligne i de D par les éléments de même rang de la ligne j de D' et ajoutant les résultats obtenus. Mais on peut aussi effectuer le produit colonne par colonne, ligne par colonne on colonne par ligne, comme on le voit en échangeant les lignes et colonnes de D et D', de D' ou deD.

Si l'on multiplie un déterminant par lui-même, on obtient son carré. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que ce carré est un déterminant symétrique, quand on effectue la multiplication ligne par ligne ou colonne par colonne.

28i. Nous ne nous sommes occupés jusqu'à présent (|ue de la multiplication de deux déterminants de même ordre. S' ils sont cV ordres différents, on les ramène à être de même ordre de la manière suivante.

Soit à transformer le déterminant D cV ordre n en un détermi-

356 CHAPITRE WIIl.

nant D, d'ordre supérieur n -h p. On écrit

C'est ce qu'on appelle border le déterminant D avec p lignes et p colonnes. Ces p lignes et p colonnes sont, comme on le voit, composées exclusivement de zéros, exception faite pour les éléments de la diagonale principale, qui sont égaux à i. Le déterminant D, est bien égal à D, car si on le développe suivant la dernière colonne, on voit qu'il est égal au mineur relatif à son dernier élément, lequel est à son tour égal au mineur analogue, etainsi de suite, jusqu'à ce qu'on obtienne D comme mineur. Ce raisonnement prouve même qu'on ne changerait pas D, en remplaçant par des nombres quelconques les zéros des p dernières lignes qui sont au-dessous de la diagonale principale, ou les zéros des p dernières colonnes qui sont au-dessus de cette diagonale.

285. Multiplication des tableaux rectangulaires. — On peut donner à la mulliplicatinii de? ilt-iermiiiants l'extension suivanle, dont on peut quelquefois trouver des applications intéressantes. Soient les deux matrices ou tableaux rectangulaires^ coniplanl p lignes et n colonnes :

«1 al

al a-„

bl .

Ils n'ont par eux-mêmes aucune valeur numérique. Néanmoins, nous conviendrons d'appeler /?rorf«t< des deu.r tableaux le déterminant A du p^'^"*'^ ordre, dont l'élément général est donné par la formule (')

ii.j =1.

('j On multiplie toujours ligne par ligne.

di:terminants. 3 5;

Cherchons la valeur de ce tléterminanl. Trois cas se présenlent suivant la valeur relative de p et de n.

Premier cas : n =/>. — On retombe sur la multiplication des déterminants D et D', déduits des tableaux (A) et (D). qui sont alors carrés.

Deuxième cas : p'^ n. — Bordons chaque tableau par p — n colonnes de zéros écrits à sa droite, nous obtenons deux tableaux carrés, qui donnent naissance à deux déterminants D et D', d'ordre p et visiblement nuls. Or, si l'on fait le produit DD' ligne par ligne, on obtient manifestement le déterminant A, qui est donc nul.

Troisième cas : p <C n. — Comme au n" 283, décomposons A en une somme de déterminants tels que

a[b'[ a'ib'i alb'i a'-b'.^

a\ b] aibi

q, r, ..., s désignant certains des nombres i, 2, ..., n.

Pour que 0 ne soit pas nul, il faut que ceux-ci soient tous différents, c'està-dire que (</, r, ..., s) soit un arrangement p 'a p (n" 19j des nombres i, 2, . . ., n. On a alors

0 = b^b'^ . . . b^iiX

Il faut faire la somme de tous les déterminants analogues. Dans ce but, souvenons-nous que. pour former le tableau des arrangements /> à /> de n nombres, on peut d'abord former le tableau des combinaisons/? à /?, en rangeant par exemple les nombres par ordre de grandeur croissante, puis faire le tableau des permutations relatif à chaque combinaison (n" 24). Dès lors, soit {q' , /•', ..., s') la combinaison obtenue en rangeant q, r, ..., 5, par ordre de grandeur croissante. Si I désigne le nombre d'inversion de (q, /•, ..., 5), on a

ô = ( — I)' b'(b'., . . . bj, X II a''i a'i . . . a\ ||.

Ajoutons tous les 0 obtenus en prenant pour (q, r, ..., s) les did'érentes permutations déduites de (q'. /', .... 5'); nous obtenons une somme

G = o".Z(— 1)'6'[6; . ..bj,,

ou (n° 276, remarque)

(22) a=||a'C r/'i' ... «V II X II ^'T K ••• M' Il iç' < r' <. . .< s').

Enfin, A esl la somme de tous les produits analogues. Finalement, nous pouvons énoncer le lliéorème suivant :

Théorème. — Le produit des deux tableaux (A) et (B) est nul, si le nombre des lignes dépasse celui des colonnes. Sinon, il est égal à la somme de tous les produits tels que 7, (g\ /•'..., s') représentant une quelconque des combinaisons p à p des nombres i, 2, .... /i, oit l'on suppose les novibres rangés par ordre de grandeur croissante.

Ce théorème permet assez souvent d'obtenir des identités intéressantes. Nous en donnerons quelques exemples en exercices. Pour Tinstanl, indiquons seulement le suivant. Multiplions les deux tableaux

nous obtenons, eu développant,

(23) (('/-+ b--^ c- )(«'2-i- 6'- -4- c'-) — (aa' -h bb' -h ce' )-

ES ( ab' — ba' )--\- (bc' — cb')--h (ca' — ac' )"-.

Cette identité, connue sous le nom d'identité de Lagrange, sert assez souvent, surtout en Géométrie analytique.

286. Règle de Laplace. — Dans ce numéro, nous désignerons d'une manière générale par L)'^ ' ^" ^■^' le déterminant déduit de D parla suppression des lignes p, q, ..., 5 et des colonnes, en nombre égal,^?', q' , ..., s'. Un lel déterminant est dit sous-détermiiiant ou encore mineur { ' ) de D. Nous désignerons par A^' ^'' y '" le sous-délerminant formé au contraire par les éléments communs aux lignes y?, q., ...,5 et aux colonnes p', q' ., ..., s', et qu'on ajipelle fjnelquefois mi/ieur comp lé me ntaire du précédent.

Cela posé, soit (p, </, ..., i; une combinaison m à m des nombres i, ?.,..., «, {m<Cn), où l'on suppose /?<^<...<5. Proposons-nous de calculer la somme a des termes de A, tels que les éléments des m premières lignes qui y figurent appartiennent dans leur ensemble aux colonnes /j, q, ..., s. On pourrait le faire directement en étendant le raisonnement fait au n° ^79. Nous emploierons de préféience la méthode suivante :

La somme cherchée est évidemment indépendante des cléments des m premières lignes qui n'appartiennent pas aux colonnes />, q, ..., s et des éléments des autres lignes qui appartiennent au contraire à ces colonnes. Profilons-en

(') Celte dernière dcnominalion présente l'incoiivcMiicnl de donner lieu à des confusions de signes quand il s'agit des mineurs d'urdre /( — i, pour lesquels nous avons donné, au n" '279, une diMinilion un peu diMiitciilc.

DÉTERMINANTS. SSg

pour annuler tous ces élénnents. Nous obtenons un déterminant Di qui se réduit visiblement à a. Par des échanges de colonnes, amenons les colonnes /?, q, ..., s à être les premières, leur ordre relatif n'étant pas changé, pas plus que l'ordre relatif des autres colonnes. Pour cela, il suffit d'échanger successivement la colonne/) avec chacune des p — i colonnes précédentes, puis la colonne q avec chacune des q — x colonnes précédentes, ... et enfin la colonne s avec chacune des 5 — m colonnes précédentes, ce qui fait eu tout

k échanges.

On a donc

Di=(-./

af,,

= (-iy'D2

D'autre part, bordons le sous-déterminant \f^'^ !l'y; f,i par n — m lignes et colonnes comme on l'a expliqué pour le déterminant (18). Bordons de même D'i': ?; .:.; m par m lignes et colonnes, mais que nous écrivons cette fois respectivement en haut et à gauche; puis échangeons les lignes avec les colonnes. Enfin niulliplions les deux déterminants ainsi formés ligne par ligne. Nous obtenons D2, comme le constatera le lecteur en écrivant les déterminants, pour y voir plus clair. De là résulte que la somme a cherchée est donnée par la formule

m{in + \)

Imaginons maintenant que, laissant fixe le nombre m, on prenne pour (/>, q, . . ., s) successivement toutes les combinaisons ni à m des nombres I, 2, ..., n. Il est clair qu'en ajoutant toutes les sommes a correspondantes, on obtiendra le déterminant D en entier, puisque tout terme de D doit avoir un élément dans chacune des m premières lignes. On a donc la formule

Elle constitue une généralisation de la formule (9), sur laquelle on retomberait en supposant m = i et faisant au besoin des échanges de lignes. Elle donne une nouvelle règle, qu'on appelle règle de Laplace, pour le calcul d'un déterminant. Quand on l'applique, on dit qn'ori développe le déterminant suivant les m premières Usines. On pourrait aussi développer suivant /n lignes quelconques. Mais il vaut mieux se ramener au cas précédent par

des échanges convenables de lignes. Il va de soi qu'on peut développer de même suivant plusieurs colonnes.

La règle de Laplace est particulièrement commode pour le calcul des déterminants du quatrième ordre; en prenant m = 2, on se ramène uniquement à des calculs de déterminants du second ordre, lesquels se font très rapidement. On a, par exemple,

= ■ (ab' — ba'){c"d' — d" c" ) — {ac — ca ){b" d'" — d" U" ) -h{ad' — da)(b" c'" — c" b" ) — (bd' — b' d){a" c'" — c'a'") -^(bc'— cb')(a"d"'~ d"a" ) -h (cd'— de' ){a" b'" — b" a'").

287. Déterminant adjoint. — On appelle déterminant adjoint du déterminant D le déterminant A = | A^| formé par les mineurs.

Théorème I. — On a \ = D""'.

En effet, inulliplions D par A, ligne par ligne, TélémenL général du produit est (n" 283)

c'est-à-dire zéro ou D, suivant que iy^j ou /=y (n"281).Le déterminant DA a donc tous ses éléments nuls, sauf ceux de la diagonale principale, qui sont égaux à D. (3n a, par suite.

d'où, en supposant D ^ o, (26)