I. - ÉQUATIONS LINÉAIRES
288. Équations linéaires. — Ou appelle équation linéaire loule équation qui est du premier degré par rapport à l'ensemble des inconnues.
Considérons le système d'équations linéaires
a \ .rj -+- a j .r, -f- . . . -+- «"J ^'„ = 6, , a \ Xi -V- a\x-2-\- . . .^ a'i x,i = 60,
aj,x.2-^
où les Xi sont les inconnues et les a et b des conslanles données. On appelle solution de ce système tout ensemble de valeurs qui, attribuées aux Xi, transforme chaque équation en une identité. Deux sjslèmes sont équivalents s'ils admettent les mêmes solutions, c'est-à-dire si loule solution de l'un esl solution de l'autre et réciproquement. Résoudre un système^ c'est trouver toutes ses solutions. Un système est compatible s'il admet une ou plusieurs solutions; il est incompatible s'il n'en admet aucune.
289. Systèmes de Cramer. — On appelle système de Cramer loul système comprenant autant d équations que d^inconnues et tel que le déterminant D = | «/ 1 des coefficients ne soit pas nul. Nous allons montrer (pT//// tel système admet toujours une solution et une seule et nous apprendrons du même coup à la calculer.
Supposons donc que, pour le système (i), on ait p= n et D^o. Si les équations (i) sont vérifiées pour'certaines valeurs des .r, il en sera évidemment de même de toute couibinaison linéaire de ces
ÉQIATIONS ET FORMES LINEAIRES. 363
équaliona. c'est-à-dire de tonte équation obtenue en multipliant la première par une constante quelconque A(, la seconde par une constante Ao, ..., la dernière par une constante /,„, et ajoutant membre à membre. Essayons alors de choisir nos multi|:)licateurs de façon à éliminer le plus grand nombre possible d^ inconnues. On y arrive immédiatement grâce aux propriétés élégantes des déterminants. Prenons A, ^A'j, Ao = A',, ..., a„ = A', ; nous obtenons réfjuation
car le coefficient de x, est D, d'après la formule (lOj du n" 279 et ceux des autres inconnues sont nuls d'après la formule (i4) du n^^Sl.
Gomme on le voit, on a éliminé toutes les inconnues, sauf xi. Comme D^ o, on en tire
Donc, sMI y a une solution, elle est donnée par les formules telles que (3). Nous n'avons plus qu'à vérifier que les valeurs obtenues satisfont bien à chaque équation du système. Effectivemnt, si on les porte dans la A•'*''"^ il vient
2^ ^'A- ^ = bk.
Or, le coefficient de èy, soit j-- («]. Aï -h «^ Ay -h ... + a^' A'-), est
nul (n° 281), tant que y ^ /i" et égal à =- = i poury'^/.". Donc l'équation est bien vérifiée.
Finalement, nous avons la proposition suivante :
Ïhéorè-me {de Cramer). — Si le système (i) est un système de Cramer^ il admet une solution unique donnée par les formules
(,) •'■• = Tr' •^^ = 17' •••' •'•"=17'
où Bi désigne ce que devient le déterminant \) (juand on y remplace cliacun des éléments de la Z"^""" colonne par le terme constant bj qui se trouie su/- la même ligne dans (i).
364 CIIAPIIKE X\IV.
Celte interprétation du numérateur de la fraction (3) est, en eftet, évidente, car ce numérateur n'est autre c|ue le développement, suivant la i"'™'^ colonne, du déterminant ci-dessus mentionné (').
Les formules (4) sont appelées formules de Cramer.
. 290. Cas général. — Arrivons maintenant au cas général où les noml)res p et n sont quelconques et où l'on ne fait aucune hypolliêse particulière sur les coefficients, si ce n'est que, dans chaque équation, il y en a au moins un qui n'est pas nui.
Nous allons d'abord donner cjuelques définitions fondamentales.
Considérons le tableau rectangulaire (carré si p = n) T formé par les coefficients a{ . De ce tableau on peut tirer des déterminants en j prenant un certain nombre de lignes et un nombre égal de colonnes. C'est ce que nous appellerons les déterminants du tableau. On appelle déterminant principal tout déterminant du tableau assujetti aux conditions suivantes :
i" Il n^ est pas nul; 2° Tout déterminant du tableau qui a un ordre supérieur est nul. Il peut v avoir plusieurs déterminants principaux ; tnais, bien entendu, ils sont tous du même ordre (-).
Le déterminant principal o étant choisi, nous appellerons écjuations et variables principales les équations et variables dont les coefficients figurent dans o. On nomme déterminant caractéristique relatif à une écjuation non principale, par exemple la A'""'', que nous appellei'ons l'équation (A), le déterminant Z^ obtenu en bordant (n" 284) 0, en bas par une ligne formée par les coefficients des variables principales dans l équation iji), à droite par une colonne formée par les termes constants des équations principales et de r équation (A ).
Cela posé, nous allons démontrer le théorème suivant, qu'on appelle quelcjuefois théorème de Méray, mais qui, en réalité, a été trouvé indépendamment par plusieurs auteurs, et que, j)Our cette
(') Nous rappelons que A{, A.(, ..., A', sont indépendants des éléments de la jème colonne..
(^) Cet ordre est appelé quelquefois \g rang du tableau, ou du système (i). l'our reconnaître qu'un déterminant non nul d'ordre q est principal, il suffit de vérifier la nullité de tous les déterminants d'ordre 7 -M, car, ceux-ci étant des mineurs des déterminants d'ordre */ -f- 2, ces derniers seront nécessairement nuls, et ainsi de suite.
