ÉQUATIONS ET FOHMES LINÉAIRES

raison, et vu son iinpoiiance, nous appellerons de préférence théorème fondamenlal :

Thkorème fondamental. — Pouf qu^ un système soit compatible, il faut et il suffit que tous ses déterminants caractéristiques soient nuls. Lorsque cette condition est remplie, on a la solution générale en donnant des valeurs arbitraires aux variables non principales et résolvant ensuite le système des équations principales par rapport aux variables principales, au moyen des formules de Cramer.

Nous pouvons évidemment supposer, en appelant q l'ordre du déterminant piincipal, qu'on a donné les numéros i, 2, ..., q aux variables et aux équations principales. Ecrivons alors celles-ci de la manière suivante :

Xi = ( rt 1 J'i -(- a \ .»■', — ...-+-«'( X,, ) — a'[ ' ' Xg^i -;-...— a'{x,,

cdx,)

Ecrivons maintenant une quelconque des équations non principales

Si, pour certaines valeurs des x, les équations (5) et (6) sont simultanément vérifiées, le déterminant

est nul, puisque la dernière colonne n'a que des éléments nuls. Mais, d'autre part, on peut le décomposer en /i -f- 1 déterminants partiels obtenus en réduisant successivement les X,- à chacun de leurs termes (n" 281, III). Les q premiers de ces déterminants sont identiquement nuls comme ayant la dernière colonne proportionnelle à lune des q premières. Les n — q suivants sont nuls également, parce que chacun d'eux est \v jtroduit d une variable non principale

par un déterminant du tableau T d'ordre supérieur à celui du déterminant principal. Enfin, le dernier n'est autre que — o^+a- Donc, on a identiquement, c'est-à-dire quelles que soient les valeurs attribuées aux X,

( 7 ) ^'/—OL ^ — ^7-i-a-

En particulier, si les équations (5) et (6) sont vérifiées, on a nécessairement o^^(3t=o. Si le système (i) admet une solution^ tous les déterminants caractéristiques sont donc nuls.

Réciproquement^ supposons qu'il en soit ainsi. Donnons à Xq^t^ ^q+2-) •••, ^n des valeurs numériques quelconques. Puis, résolvons (5) par rapport à a?,, x-,-, • • -, Xq, en l'emarquant qu'on a un système de Cramer, puisque o ^ o. Portons les valeurs obtenues dans les autres équations. Je dis qu'elles sont vérifiées. Prouvons, par exemple, que Xy^a s'annule. En effet, on a, d"a|;rès (-) et grâce à l'hypothèse faite, A^^a=o. Or, si l'on développe ce déterminant suivant la dernière colonne et si l'on tient compte de (5), on voit qu'il se réduit à X^^^-^- Comme o ^ o, X^,.o( est nul. c. q. f. d.

291. Remarques. — I. Dans le cas où il y a au plus autant d'équations que d'inconnues (p^ /«), il peut arriver que q =/>. Dans ce cas, il n'y a pas de déterminants caractéristiques; le système est toujours compatible. Il admet une solution ou une infinité, suivant que n ■= p ou n >> p.

W. Au contraire, lorsqu il y a plus d^équations que d' inconnues.^ comme q = n., on a nécessairement q <ip^ et il y a toujours des déterminants caractérisques. En les annulant, on obtient les conditions (le compatibilité. C'est ce qu'on appelle aussi éliminer les inconnues xi entre les équations proposées. En particulier, il arrive souvent qu'on a à éliminer n variables entre n -\- i équations linéaires. Dans ce cas, on annule le déteiiuinant d'ordre // -j- i foimé par les coefficients des inc^innues el les termes constanls. Mais il faut bien prendre garde que si la condition ainsi obtenue est toujours nécessaire ('), elle nest suffisante que si le délerminaat principal

(') ^\ q ^^ X, h; dclcrriiiiiunl en (|iicslioii csL l'uiiiciuc diileniiinaiil caractéristique et, comme tel, doit être nul. Si c/ :,n, il est encore nui, car les mineurs relatifs à la dernière colonne sont tous nuls. [t;ii-ce que ce sont des déterminants il'ordrc /2 "^q du tableau T.