ÉQUATIONS ET F0UME3 LINÉAIRES. 3G
est d'ordre n. S'il est d'ordre q<Cn^ il faut annuler /^ -!- i — q déterminanls caractéristiques.
292. Équations homogènes. — Lue des équations (i) est dite homogène si elle ne possède pas de terme constant. Le système est homogène si tous les 6/ sont nuls.
Quand un système est homogène, les déterminanls caractéristiques sont toujours nuls^ puisque la dernière colonne ne comprend jamais que des zéros. Donc, un système homogène est toujours compatible. C'est du reste évident, a priori., car on a toujours la solution .r, =--r2= ... = .2?«= o, que nous appellerons la solution nulle.
Pour qu'il y ait d autres solutions que la solution nulle ^ il faut et sufjit (\\\\\ y ait des variables non principales, c'est-à-dii^e que le déterminant principal soit d'ordre inférieur au nombre des inconnues. En particulier, cela arrive toujours lorsqu'il y a moins d'' équations cjue d' inconnues., car on a qSp << n.
Ln cas assez fréquent est celui où ^ ^^ = /z — i. Si l'on suppose par exemple que les variables principales soient x-., x^. ... x,/., on peut choisir arbitrairement la valeur de x^. Les formules de Cramer donnent ensuite
\\ ri'^ a'I ... «',-'— rt{ 37, n\+^ ... a'I \\
Il «I <'{ ■ ■ ■ (ti II
Le numérateur contient — x, en fadeur et s'écrit, en écliangeant la (i — iyet»e colonne successivement avec les / — 2 précédentes,
(-i)'-i:r, Il a} a\ ... a'f ^ «;+' ... a'{ \\ .
Désignons par D, le déterminant déduit du tableau T |)ar la suppression de la i"'"" colonne et multiplié par ( — i)'~'- ^^ serait le mineur relatif à Xi dans le déterminant cjuon obtiendrait en complétant le tableau T par la ligne Xi.,x-2, •••■, x„ écrite en haut; aussi l'appellerons-nous, pour abréger, le mineur relatif à .r,. Nous avons, dans ces conditions,
d'où
D'où la règle suivante :
La solution générale cP un système de n — i é'/uations linéaires et homogènes à n inconnues, dont le déterminant principal est d^ ordre n — i, est fournie par des quantités proportionnelles aux mineurs définis ci-dessus. Par exemple, si, comme on le fait souvent, on appelle p la valeur commune des rapports (8), ou a
(9) .ri=pDi, j72=pDo, ..., .-r„=pD„,
formules clans lesquelles p peut prendre une valeur arbitraire. Celle règle est avantageuse en ce sens qu'elle ne détruit pas la symétrie entre les variables. On l'applique en particulier très fréquemment en Géométrie analvtique. Par exemple, les deux équations
i ax -{- by -f- c^ =0, I ax^by-^cz = o,
OÙ l'on suppose que lun au moins des mineurs tels (jue bc — cb n'est pas nul ('), équivalent à
bc' — cb' CCI — ac' ab' — ba!
ou
(12) X = ç,{bc' — c6'), y=.o{ca' — ac'), z = p(ab' — ba'),
p étant un facteur arbitraire.
Dans le cas oii p ^ n, pour cju'il y ait des solutions non nulles, il faut et suffit que le déterminant des coefficients des inconnues soit nul, car c'est la condition pour que le déterminant principal soit d'ordre inférieur à n. Ecrire cette condition s'appelle aussi éliminer X), jTo, ..., x,i entre les n équations homogènes.
293. On peut déduire de là le tliéorème suivant, qui est d'un usage assez frécpient :
Thkorkme. — Pour qu' un déterminant soit nul, il faut et suffit qu'on puisse trouver une relation linéaire et homogène qui soit
P) Cela revient a supposer qu on n a luis — = — = — , auquel cas les deux equa- ■ ' I r T abc
lions seraient en somme idenliiiues. ce qui serait sans intérêt.
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vérifiée par les éléments de chacune des lignes ou de chacune des colonnes ( ' ).
En effet, si l'on écrit ({ue la relation linéaire et homogène
(l3) \iXx-^\i.r,-r-. . .— l„Xn= O,
est vériiiée par les éléments de chaque ligne du déterminant | aj |, on obtient, pour déterminer les coefficients inconnus A, le système
(i4) a}li^aff,2 — . . .-h n'/A,t= o ( i = i ,■>,..., n).
Pour que la relation existe, il faut et suffit que ce système admette des solutions non nulles, c'est-à-dire, d'après ce qui a été vu plus haut, que le déterminant soit nul.
Remarque. — Nous connaissions en somme déjà l'existence des relations telles que (i4) quand on suppose que le déterminant est nul sans que tous ses mineurs le soient. Il nous suffit, en effet, de prendre par exemple ).| = A|, Ao^^^^j •■■, ^-/i = A" pour retomber sur les formules (q) et (i3 ) du Chapitre précédent.
294. Résolution pratique des équations linéaires. — Les méthodes que nous venons d'exposer sont surtout théoriques et sont presque indispensables quand on a affaire à des équations à coefficients littéraux, surtout s'il y a lieu de faire une discussion. Mais, lorsqu'on a à résoudre un système à coefficients tous ou presque tous numériques, on va souvent plus vite en procédant d'une manière jdus élémentaire.
Le principe général de la iiiétiiode à laquelle nous voulons faire allusion consiste à chercher des combinaisons linéaires (n° 289) des équations proposées., dans lesquelles figurent le moins cVinconnues possible. C'est, au fond, le principe (|ui nous a guidé au début du n° 289. Seulement, dans la praticpie, on ne fait pas appel à la théorie des déterminants et l'on n'élimine généralement pas d'un seul coup toutes les inconrnies sauf une. On procède plus ou moins |)ar tâtonnements. Ou bien, on élimine méllio(li(piemenl une des inconnues, par exemple ,r„, entre les é(piatit>ns proposées combinées
( ' ) lîieii enlendii, la relation n'est pas, en général, la même pour les lignes et iioiir les colonnes.
Haag. — Cours, I. 24
Jinéairenienl deux à deux. On (.'sl. conduit de la soi'le à des équations ne renfernianl plus que // — i in(H)unues, sur lesquelles on opère de la uièuie manière, et ainsi de suite jusqu'à ce qu on obtienne une équation à une inconnue.
JNous ne croyons pas utile d'insister davantage sur celte manière d'opérer, qui est tout à fait élémentaire, et doit être connue du lecteur, du moins pour les petites valeurs de n. La meilleure façon de se familiariser avec elle consiste d'ailleurs à en l'aire de nombreuses applications. Nous en indiquons quelques-unes dans les exercices.
