ÉQIATIOXS ET FORMES LINÉAIRES

pas tous nuls, on peut résoudre (i~) par rapport à y*( , ce qui donne manitestemeiit une expression de la forme annoncée.

"I^Q. TuF-OuiiArr 1. — Pour tjite les formes /,, f y, . ..^ fp soient indépendantes, il faut et il suffit que le déterminant principal déduit du tableau de leurs coefficients soit d'^ordre égal au nombre des formes.

Glierchons en efl'et à vérifier l'identité (17). Il nous faut annuler séparément les coefficients de jT), ^05 •■-, x„ { n" 200 bis) (')

/ ci\ X, -i- n\ )..2 -H . ■ . -+- ci]j If, = o,

Or, nous savons (n" 292) qu'un tel système linéaire et homogène n admet des solutions non nulles que si son déterminant principal est d'un ordre inférieur au nombre p des inconnues, ce qui démontre le théorème.

Remarcjue. — Dans le cas où il y a plus de formes que de variables, les formes sont forcément dépendantes^ car Tordre du déterminant principal étant î;/?, il est sûrement <ip, si n <ip. Dans le cas de n =/>, il faut et suffit., pour V indépendance ., que le déterminant des coefficients, qu'on appelle souvent le déterminant des n formes., soit difi'érent de zéro.

Théorème II. — Pour que plusieurs formes linéaires soient indépendantes, il faut et suffit qu'ion puisse déterminer les xi pour qu^elles prennent des valeurs numériques arbitrairement choisies.

1" La condition est suffisante. — En eflet, si elle est remplie, les p formes fi ne sauraient être liées par une relation de la forme (17), sans quoi leurs valeurs numériques seraient toujours liées par cette relation et ne pourraient pas, contrairement à riijpolhèse, être choisies arbitrairement.

(M Sans s'appuyer sur le théorème général auquel le lecteur est renvoyé, on peu se contenter d'annuler tous les x, sauf un seul d'entre eux, qui sera successivement ar,, JCo, .-., -r„.

2" La condf/io/j esf nécessaire. — Les formes étant supposées indépendantes, cJierchons à leur faire prendre des valeurs quelconques b,, ^21 •••7 ^p- Nous sommes conduits, pour déterminer les .r/, à résoudre le système (i). Or, ce sjstème est toujours compatible (n"!291, remarque I ), car, d'après le théorème précédent, son déterminant principal est d'ordre p.

!207. Substitutions linéaires. — Etant données n variables indépendantes x^, X'2i ..., ic,i, il arrive fré([uemment qu'on est conduit à les iemj)lacer par d'autres variables j', , y.,, . ••, J'«, liées aux anciennes par les formules

' -^1 = "Iri-^ "îJ^2-i-...-+-'7'/.r/,,

.(•.,= al Vi ■^. ..-ha'.ly„,

«/ÎJ/-.

Pour que les anciennes variables soient véritablement indépendantes, c est-à-dirc puissent prendre des valeurs numériques quelconques, il faut et il suffit (n° 296, théorème II) que les n formes linéaires (19) des variables jk/ soient indéperidantes, c'est-à-dire que le déterminant \aj\ soit différent de zéro. Dans ce cas, on dit que les formules (19) définissent une substitution linéaire. Le déterminant non nul m = | «^ | est appelé module de la substitution.

On peut résoudre les équations (19), par rapport aux j', par les formules de Cramer. On obtient

(xo)

en posant (n" !289) (21)

Yi = a { .ri -H aj .ra -f- . . . + a',' x„ , jo = a|.ri +. . .-h a{ix„,

1 7„= a;, .ri -4-...+ a;!a:-„,

cL désij^nant j)ar \' le mineur de /// lelalif à r/'y.

Les formules (20) définissent ce rpTon appelle la substitution inverse de la précédente. Le module; correspondant est

ÉQUATIONS HT FORMES I.INÉ.MRIiS. SjS

en vertu (lune propriété des déterminants adjoints (n" 287, théorème 1). Donc :

Théorème. — Les modules de deux suhstitulions irnerses sont inverses l^ un de Vautre.

;298. Soit maintenant une forme linéaire quelconque des Xi, ])ar exemple la forme (jo). Si l'on y remplace les xi par les expressions (19), on obtient évidemment une forme linéaire des y,-, qui est dite transformée de la précédente par la substitution (iç) ).

Théorème I. — Si p formes linéaires sont indépendantes., leurs transformées le sont aussi.

Cela résulte manifestement du théorème II du n" 296 et de ce qu'on peut toujours déterminer les y pour faiie piendre aux x des valeurs données quelconques.

Théorème II. — Etant données n formes linéaires des x/, le déterminant des formes transforniées est égal au déterminant des formes proposées multiplié par le module de la substitution.

Soient les n formes

( 22 ) /, = b] xi -^ b] x^-h . . .-¥- b'I Xa {i = l, 2, . . ., n).

Leurs transformées s'écrivent

en posant

(iÂ) ^l=a'{l,)^ahb]-^...-^a';J>';.

Dès lors, le déterminant | [î^| apparaît comme étant égal au produit des déterminants | b\\ et j a-'-\. elléctué ligne par colonne (n" 283]

Remarque. — Si Ion fait sur les i.», la substitution inverse (r^o), on retombe naturellement sur les fi. En appliquant de nouveau le théorème précédent, on retrouve l'égalité <^xm = i.

!299. Substitutions orthogonales. — Parmi les siihsiilulions linéaires, il existe une catégorie fort im|)ortanle. qu'on appelle subslitutions ortliogonales^ à cause de leur origine géométrique, et (jue nous retrouverons en Géométrie analytique (t. 11). On dit que les formules (19) définissent une substitution orthogonale si elles donnent lieu à ^identité

( 25 ) xl-^ xl^ . . .-\- xl= y\-^ yl-^ . . .^ yr,.

Imaginons donc ([u'on remplace, au prenner membre, les xi par les valeurs (19) et identifions les deux membres (n" 200 bis). En égalant successivement les termes carrés et annulant les termes rectangles, on a les conditions nécessaires et suffisantes

(27) n\a{-\- a'^ai^,. .-^- a'naJ„= o (i ^ j = i, ■>,..., n).

Autrement dit, la somme des carrés des éléments d^ une même colonne du déterminant m doit être égale à 1 et la somme des produits des éléments de même rang de deux colonnes doit être nulle.

On peut déduire très simplement de là les formules relatives à la substitution inverse. Pour avoir y/, par exemple, multiplions la première ligne de (19) par a\, la seconde par a'.,. . . ., la /?"''""' par a.^^ et ajoutons. Le second membre se réduit manifestement à )/, si 1 on tient compte des relations telles cjue (26) et (2-). On a donc

(a8j yi= a\Xx-^ a'^x.y-\-. . .-\- a'nXii {i = i , 7., . . .. n).

Autrement dit, les coefficients de la substitution inverse s'obtiennent par un simple échange des lignes et des colonnes dans le déterminant m. De là résultent diverses conséquences :

1" On a pour les lignes les mêmes relations fjur plus haut peur les colonnes; c'est-à-dire

(■x^) („})t^(aJr-^...-h{a'fy^=i (i=--i.2 n);

( 3o; a) fij -\- aj aj -<-... -h a'/ a" = o (i^j = \,'jL,...^n).

Il Nuflit, |)our le voir, de remplacer, dans (aS), les yi par les expressions (28).

ÉQLATIONS ET FORMES LINÉAIIUÎS. SjJ

2" Les deux substitutions ont mr/ne module, lequel est égal

En eflet, a se déduit de m par léchange des lignes avec les colonnes; donc (n" 277) 'x= nu \)e plus (n" 297), |j.m = i ; donc t7i-^^\, /« = rt I . On peut aussi le vérifier en élevant m au carré colonne par colonne et tenant couipte de (26) et (2-).

3" Chaque mineur de m est égal ou opposé à Vêlement correspondant, suivant que m = -\- \ ou — 1 .

En elTel, comparons (28) à (20) et (21). Nous avons

A' = ma'. . c. Q. F. I).

FORMES OUAIMUTIQUES.

300. Définitions. — (hi appelle forme quadratique f/e5 /? variables Xi, x-2, •••, -T/i loiit polynôme homogène et du second degré par rapport à ces variables.

La forme quadratique la plus générale peut se représenter par la notation suivante :

(i) io{xi) =2«'^/ ^ ^'^ 21"' ''^'^^' (' ?^^')'

où les a'- et aj désignent des coefficienls constants quelconques. Les termes de la première somme sont appelés termes carrés; ceux de la seconde somme sont les termes rectangles; pour les avoir lous, on doit prendre pour / et j toutes les combinaisons deux à deux des nombres i, 2, ..., //, sans distinguer l'ordre relatif de ces deux indices, de sorte qu'on a le droit d'écrire indifféremment aj ou aj. On peut, par exemple, assujetti]' / à être toujours <C/.

Une autre notation égalt-inenl adoptée est la suivante :

(2) w(3"/)=2 ^aiTiTj,

OÙ l'on doit prendre pour (i.j) lous les arrangements avec répétition et deux à deux des noml)rcs i, ■>.. .... /i i K.rerc. : Giiap. H, Exercice proposé n" 0), en

convenant en outre de l'égalité a',- = a'j ; de sorte que, lorsque i 9^ j\ a',- (ou a'j) représente, comme plus liant, le demi-coefficient de X/Xj, et, lorsque i=J, a'i représente le coefficient de xj .

i)\\ appelle dcnii-déri^écs d'une forme quadratique ses demi-

FOn.MES OIJAUHATIUUES. 0/7

dérivées partielles par ia|)porl aux n variables qui la constituenl,

soient

/ /i = a 1 .ri -H rt r .r. -4- . . . -!- o'I x„. \ fi == a\ Xi -^ a\x.2-¥- . . .-^ 'l'i-fn^

J'„^n},Xi -r-.. .~a','^x„.

Ce sont, eonime on le voit, des formes linéaires. La formey^, par exemple, est obtenue en prenant dans la formule (i) tous les termes pour lesquels ?=p, ce cpii donne

«p^/,-H -iiaj.xix,, -+- «/..r.,.//, -!-...-!- a'/~^ .>:,,-i.r,,^a'/,^^ .r,,+iXf,^...+ a'/,XnX,,).

En dérivant par rapport à Xp et divisant par 2, on trouve manifestement la valeur àe fp donnée par (3).

Le déterminant des demi-dérivées est appelé discrlininant de la forme quadratique. C'est le déterminant \o.{\' A cause de l'égalité aj:=a'i, on voit (\i\il est syméliique.

30L Décomposition en carrés. — \Jn problème très important, ainsi que nons le verrons en particulier en (léométrie analytique (t. 11), est celui de la décomposition des formes quadratiques en carrés. Nous allons montrer que toute forme quadratique peut toufnurs être décomposée en une somme algébrique de carrés de formes linécdres indépendantes^ le nombre des carrés étant au plus égal aux nombres des variables.

Nous emploierons à cet effet la méthode de Gauss. Soit à eflectuer la (b'composition de t)j(jr,). On peut faire apparaître ou, comme on dit, extraire des carrés de deux manières différentes, suivant qu'on prend une ou denx variables directrices.

i" Une variable directrice. — Ce sera une varifd>le dont le carré figure dans m. Si, par exemple, a\ n est pas nul, on peut prendre pour variable directrice .r,. On peut écrire alors

oj — a \ ./■ I -I- 2 ./'i ( rt ] ./o -I- . . . -r n'I ./•„ ) -+- 0 ,

= — [''^'l'''i)--^- ■i(('\-'--i)(/i'i-r-î + . . .-+- a'i.r„ ij -r- Oi

= — L"l '1 ^ ("'i ■''i-^-- ■ -^ «7 ■?-//)]- -H Oi r < "f''2 + - • --^ «':'■'•/()-

Oii.

où/, désigne la demi-dérivée par rapport à la variable directrice et &, et w, des formes quadratiques où ne figure pas cette variable( '). Comme on le \oit, en même temps qu'on a fait apparaître un carré ^ on a fait disparaître une vaiiable de la forme quadrali(|ne restante, à savoir la variable directrice.

•i° Deux variables directrices. — Ce sont deux variables dont le produit se trouve dans (o, leurs carrés n^ y figurant pas. Si, par exemple, ci\ n'est pas nul, a\ et a-, Tétaur, on peut prendre pour variables directrices simultanées X\ et x^. On peut écrire alors

( r/|. r, ) (rtf.rs -4-...— <■/'/. r,;; (af.r,) (alx:i-^. ..-4- ^'','.r„ i] + 0,, . . . ^- r// ,r„ )] [ r4 .r 1 -h ( a l .r,j h- . . . 4- «{,' .;■„ )]

-^hi T,{^'\-''-i-^-- --^ «','.'•„)( «2 ./'s -4-..,

•ia\

OÙ /, et/a d(^signenl /e,v demi-dériiées par rapport aux variables directrices el 0,2 et to,2 des formes qnadraticpies où ne figurent pas ces variables (-). Comme on le \oit, ei} même temps qu^on a fait apparaître deux carrés., on a fait dispaialtre deux variables de la forme cptadralique restante, à savoir les variables directrices.

30!2. Cela posé, voici comment on procède pour eiléctuer la décoin-

( ' ) Le lecteur se rend aisément compte de la marche suivie : nous firoupons les termes qui renferment x^ et nous les considérons comme le-^ deux premiers termes du développement du carré d'un certain binôme. Nous les remplaçons par ce larré; triais nous corrigeons en retranchant les termes introduits en trop.

(^) Nous groupons les termes qui renferment x^ et ./\, puis j;,, puisj;^ ^^ nous les considérons comme les trois premiers termes du développement du produit de deux certains binômes. Nous les remplaçons par ce produit; mais nous corrigeons en retranchant les termes introduits en trop.

FORMES QUADRATIQUES. 879

position totale. On commence par extraire un ou deux carrés par Tune des méthodes précédentes, suivant les valeurs numériques particulières des coefficients. Il reste une forme quadratique renfermant une ou deux variables en moins, sur laquelle on recommence la même opération, et ainsi de suite. Les formes f|iiadratiques résiduelles successivement obtenues renferment un nombre de variables qui diminue chaque fois d^ une quantité au moins (') égale au nombre de carrés qiÇon fait apparaître . Il en résulte qu'au bout de n opérations au plus, on aura épuisé toute la forme quadratique proposée et l'on aura fait apparaître au plus n carrés. Donc, la méthode de Gauss permet de décomposer toute forme quadratique en un nombre de carrés qui ne dépasse pas le nombre des variables.

303. Je dis que ces carrés sont indépendants^ ou, plus exactement, que les formes linéaires dont ils sont les carrés sont indépendantes. Pour le prouver, nous allons utiliser le théorème JI du n" 296 et faire voir qu'on peut leur faire prendre des valeurs arbitraires. Il s'agit de montrer qu'on peut toujours résoudre, par rapport auxx/, le système obtenu en égalant à des constantes quelconques les formes linéaires dont les carrés figurent dans la décomposition. Pvangeons ces équations suivant Tordre dans lequel ont été obtenus les carrés correspondants et groupons deux à deux celles qui proviennent de deux variables directrices simultanées. Je dis que chaque groupe peut être résolu par rapport aux variables directrices correspondantes . En effet, si le groupe ne renferme qu'une équation, telle que y, =const., on peut en tirer ^,, car le coefficient a\ de cette variable dans/", n'est pas nul, par hypothèse. Si le groupe renferme deux é(|nations, telles quey'i -\- f-i = const. et /, — /"o = const. , on en déduit, par addition et soustraction, y, = const. et /'2= const. Mais de/'i on peut tirer Xo et de/o <^n peut tirer x^ en fonction de X3, ..., .r„, car «f ^ o.

Dès lors, pour résoudre le système, on peut procéder comme il suit : on résout le dernier groupe par rapport à la ou aux variables directrices correspondantes. Puis on porte le résultat dans le groupe

(') Nous disons «au moins» parce qu'il peut, se produire accidentellement, au courant des calculs, des réductions faisant disparaître d'autres variables que les variables directrices.

3Ho CIIAIMTRE \\V.

précédent, ([u'oii résout à son tour par rapport à sa on ses \ariables directrices. On porte dans le groupe précédent el ainsi de suite jusqu'au premier groupe. Le système est alors résolu (').

30i. Bemarques. — ■ I. I^a méthode de Gauss comporte un certain degré d'arbitraire à cause de l' indétermination qui existe, à chaque opération, dans le choix de la ou des variables directrices. II faut savoir en profiter pour a\oir les calculs les ])lus simples possible. Par exemple, si une variable ne rentre que dans un petit nombre de termes, il y a avantage à la prendre, si possible, |)Our variable directrice, de préférence à une autre.

11. La méthode de Gauss ne s' applique pratiquement qu'à des formes à coefficients tous ou presque tous numériques. Si les coeflicienls sont littéraux, les calculs de\iennenl rapidement très pénibles et s'encombrent d'hvpothèses relatives à la non-nullité des coefficients des variables directrices.

;{0."). Théorèmes généraux sur la décomposition. — Il existe, on vient de le voir, difl'érentes manières d elTectuer la décomposition suivant la métliode de Gauss. En outre, on peut concevoir qu'il y ait d'autres procédés pour résoudre le problème (-). Quoi qu'il en soit, il existe certaines propriétés, dites propriétés d'invarianct\ qui sont indépendantes de la marche suivie pour obtenir la décomposition.

TnKORi:.ME 1. — Le nombre des carrés indépendants en lesquels on peut décomposer une forme quadratique est égal à l'ordre du déterminant principal déduit de son discriminant {■').

En effet, soil

(7) tu = XÏ+X^ + ...+ X^

avec

les formes linéaires X] , \.., .... \/; étant su|)pf)sées indépendantes, de sorte que

( ' ) Si toutes les variables ont servi de \arial)les directrices, c'est-à-dire si la décomposition comporte n carrés, il n'y aur^i évidemment qu'une soluti»)n. Sinon, les variables qui n'ont pas été directrices peuvent être choisies arhilrairement.

('-) C'est ainsi que toute substitution orthogonale ( n° 2!)9) ed'ectut'e sur la fojine quadratique x]-- xl-h . . ■-i-..z:a la transforme en une somme de n carrés.

{'■) Ou encore au rang du discriminant {cf. [>. SG'i, note :>.).

FOHMES QIADKATIULES. 38l

leur nombre est %n et qvion peut siip|>oser par exemple (n"296, tiiéorème I)

(9) Il a} af ... a'; Il ,^0. Prenons les demi-dérivées ; on a, d'une manière générale,

(10) /y— a-/ Xi+ xi Xo-i-. . .-+- a;^X/,. Cela posé, considérons les deux systèmes lim'aires

(11) Xi = o, X.2=o, ..., \^, = 0; (m) /i=o, fi=o, ..., ,fa=o.

Toute solution du premier vérifie évidemment le second, grâce à (10).

Inversement, toute solution du second vérifie le premier, car les /? premières équations (12), considérées comme des équations en X,, X,, ..., X,, au moyen des formules (10), n'admettent que la solution zéro, à cause de (9). Les systèmes (11) et {\i) sont donc équivalents. Par suite, ils admettent les mêmes groupes de variables principales (n^SOO). Or, on peut prendre pour variables principales du premier j-j, a?2, . . ■ , a^/;, toujours à cause de (9). Donc, le déterminant formé par les p premières lignes et les p premières colonnes du discriminant est principal et le théorème est démontré.

306. Dans ce qui précède, nous ne nous occupons pas de la réalité des formes X,, Xo, ..., X^. Plaçons-nous maintenant à ce point de vue particulier. La forme to étant supposée à coefficients réels, ne considérons que les déconiposi lions réelles., c'est-à-dire que nos carrés ne devront porter que sur des quantités réelles. Mais alors il pourra s'en trouver qui seront précédés du signe + et d'autres qui seront précédés du signe — . Les premiers seront appelés carrés positifs les seconds carrés négatifs. Cela posé, nous avons le lliéorèm«; suivant :

TiU':oRÈME H. — Quel que soit le mode de décomposition en carrés indé-*. pendants, le nombre des carrés positifs et le nombre des carrés néi^atifi sont invariables.

En effet, soient les deux décompositions !

(i3) a) = X? +Xi l...-^X| — Y? — \1 — ...- Y2,

Les deux sommes L -^ q et k'--q' sont égales, d'après le théorème précé-i dent. Supposons alors qu'on ait, par exemple, k >• /r'; on en déduirait q < c/\

(considérons les deux systèmes linéaires

(i5) Yi = o. Y2=o, ..., Y,, = o, Xi = o, Xi.= o; (i6) Yi = o. Y2=o, .... Y^=o, \i=o. X/ = o.

On peut satisfaire au premier sans satisfaire au second, car si toute solution de (i5 ) vérifiait (16 ), les variables non principales de (16) comprendraient toutes les variables non principales de (i5). Or, les formes Y'i, ..., Y',/, X,, ..., X;;. étant indépendantes, le nombre des premières est n — {q~[-k). Quant au nombre des secondes, il est au moins égala n — (g -h k' ). On aurait donc /i — (q -^ Aj^n — (q-hk'), on X|A', ce qui est contraire à l'hypothèse / > k' . Dès lors, si dans(i3) et (14) nous remplaçons les .r,- par une solution de ([5) qui ne soit pas solution de (16), on voit que, d'après (l'i), 10 devrait être > o et, d'après (j4). il devrait être S o. Ces deux inégalités étant incompatibles, l'hypothèse /i > /i' est inadmissible. Il en va de même pour A < A'. Donc k — k\ puis q = q . 0. q. f. D.

Ce théorème est connu sous le nom de Joi d'inertie.

Une forme quadratique réelle à 11 variables est dile drjlnic si elle est décomposable en une somme de n carrés indépendants et de même signe. Elle conserve évidemineiU un si's'ne invariable pour toutes les valeurs réelles des xt et ne peut s'annuler que si tous les Xi sont

n u Is .

307. Forme polaire. — On i\\)\)e\\e forme polaire (' ) de oj relalivemenl aux deux groupes de variables (a:*,, x>-, ••., Xn) et {x\j x[-,^ ..., x'n) et nous représenterons par la noLalion (o(.r/|.r|) l'une ou l'autre des deux expressions identiques :

(17) i.<){Zi\Xi) == - .r, r-x.y- H. . .-!- a- , - — ,

On v est conduit tout naliirellemenl lorsqu'on se propose d'ordonner par rapport à /., '/ la cpianlili' to ( A .r/-|- a,2:| ), qui est, a priori, un liinoiiK; homogène et du second degré rclativcmcnl à ces variabk'S, soit

(19 j tui'hXi^ \xx'i) = AX^H- 2BX|Jl -+- C[jl2,

(') Celli- dénoniiiiJilion a mui orij^iiie en <j('onii-lric aiialyti(|ue, dans la liièori!' des pôles, [loiaires et plans polaires, >>n la fortue pcjlain; jour un r<"ile l'ondanicntal (t. H).

iOltMKS QIADUATIQUES. 383

A, B, C désignant cerlaines l'oaclions des xi^ x\ , que nous allons calculer.

L'égalité (19) ajant lieu quels que soient A et [J., faisons-A' u. = o. À =z I ; il vient A =: w {xi). De même, C = w(.r'/). l*our a\oir B, dérivons par raj)porl à a ; nous obtenons (n° 130)

^x'J — \ =2BX + 2G|Jl,

^mà \ OXiJ'l..xj + \l.x', '

en représentant par — ce que devienl - — quand on y rem-

place les :cy par les \xj-{- [xx':. Faisons maintenant |j. = o, ). = i ; nous avons

En dérivant (19) par rapport à )>, puis faisant Ai=o, [-/-^i, on obtiendrait de même

Ceci nous prouve l'identité des expressions (1-) et (18) et nous donne du même coup \?i formule dès impovLante (')

(■iO) (0(Xa-/H- \J.x'i) SE X-Oj(a"/) -h 'i.\\Xiù{Xi\ x'i) -T- [J.'-^0>(^/).

En particulier, si Ton suppose x'^ = Xi et A = y. = i , on trouve

(21) M{Xi\Xi) = Ui{Xi),

ce qui n'est autre que l'identité d'Euler ( n" ISl).

308. A cause de son importance en Géométrie analytique, il est essentiel de savoir calculer de diiïérentes manières la forme polaire d'une forme quadratique donnée. Tout d'abord, si Von lient à ce quelle soit ordonnée par rapport aux Xi ou aux x\ , on utilisera la formule (18) ou la formule (17). Il en sera de même si un grand nombre des xi ou des x\ sont nuls, circonstance qui apporte des

C) On auiail [)ii aussi l'ctaljlir au uioj'cn de la formule cIcTaylor (11° 132).

simplifications évidenles. Mais, si l'on c-caiie ces hypothèses, la véritable méthode pratique est la suivante :

On remarque, ce qui est évident sur (17) ou (iH), que la forme polaire d'une somme est la somme des formes polaires de chacun de ces termes et Ton elTectue le calcul terme à terme, en retenant une fois pour toutes que les formes polaires de a'^xf et ia\xiXj sont respect iK-emen t a^-XiX- et aj{xix'j-h x'^xj), comme cela résull(> immédiatement des formules de définition (17) et (18).

11 arrive que la forme quadratique (o ne se présente pas sous forme ordonnée par rapport aux a?,, mais sous l'aspect cV une for me quadratique relativement à un certain nombre de formes linéaires j',, j'o, ...,jp des Xi. Dans ce cas, il faut bien se garder, si l'on n'a pas d'autres raisons de le faire, de développer oj. Nons allons, en effet, prouver qu'il est légitime de calculer la forme polaire en re<^ardant les yi comme les variables indépendantes.

D'une manière précise, soit

Désignons par y) ce que devient y j quand on y remplace les xi par les x\ . Si l'on remplace maintenant .r, par X^,+ [j..r^ , X et a désignant deux paramètres quelconques, yj dexient Xyj-h [^J'yi comme cela résulte manifestement du fait que )-y dépend des Xi d'une façon linéaire et homogène. Dès lors, on a identiquement

ou, en se servant de (/io),

Comme ceci est vrai (piels que soient )., ;j., on peut égaler les coefficients de Au (n" 200 bis), ce qui donne

(23) oi(xi\x'j) = (Hyj\yj) <:• U- P- »•

:}0!). Transformations des formes quadratiques par substitution linéaire. — liiiiii;inniis (]ii'on ellccluc sur cji./,; hi siihslituliou linriiiro (n" ^97;

(24) ^/= 'J-) yi-^ '■>■': y -.-^•- '^ ^'lyn i' ^ '- •■>-. • • •> «)■

Nous oblcnons une forme (|iiii<lr;il i(|ue ')(j',), .]ui csl dite /a (ra/isfnr//iée de

FOKMES OUADRATIQUES. 385

M parla substitution {i\). On a l'idenlilé

qui a lieu quels que soient les Xi ou les j^, suivant qu'on y remplace les j^,- ou les Xj par leurs valeurs en fonction des x, ou des jk/-

Appelons/], /a , ■ ■ ■ ^ fn 'es demi-dérivées de to et g'i, gi, . , . , ^„ celles de 6. Dérivant (25) par rapport à jk/, on a

(iG) gi = a', /, + a'2/o + . . .-h a;,/„ ( f = i, a, . . ., /i).

On voit que ces formules définissent une substitution linéaire dont le module [JL se déduit de celui de (24) par l'échange des lignes et des colonnes et lui est par conséquent égal.

Appelons 5 et 0' les discriminants de oj et 9. Par définition, 0' est le déterminant des formes ('.6) où l'on suppose lesy"/ exprimés en fonction des^,. Or,

(27) fi= aj.ii-i- aj.r.2 + . . .-h a'fxa (« = i ,?.,..., n).

On obtient donc les g',- en fonction des jk/ en faisant successivement sur les formules (26) les substitutions linéaires (27) et (24) (*). Appliquons alors le théorème II du n° '298. Le déterminant des formes (2G) est |jl par rapport aux//. Après la substitution (27), il devient [lo par rapport aux Xi. Enfin, après la subslilution (24), il devient [xo .[x r= o^x'^^ par rapport aux yi. Donc :

ThÉorè.me. — Le nouveau discriminant est égal à l'ancien multiplié par le carré du module de la substitution.

310. On peut se proposer de chercher une substitution telle que la forme ^ ne renferjne pas de termes rectangles. Cela équivaut évidemment à la décomposition en carrés (n"30l ). Nous allons restreindre le problème en assujettissant la substitution à être orthogonale (n° 299).

Supposons donc (pi'on ait identiquement

(28) w(a7/) = ^^y\->^ S2JKI-H. • .-H ^ajl- Différencions par rapport à jk/

( ^9 ) S,-7,- = - (oc\ f- a; +- . . .-H a , - — •

^' -^ 2 \ (/ri - drq à.rn/

Le second membre est la forme |)olaire de w relativement aux gioupes

(') Les formules (^7) ne définissent à proprement parler une substitution linéaire que si 5 ^ o ( n° 297). Mais cette restriction est inutile ici, car elle l'est pour la démonstration du lliéorèine II ilu 11° 2!)S, sur lequel nous nous appuyons.

Haao. — Cours, I. 20

CIIAPITUE \\V

(arj, . . . , a:,,) et (a'i . . . ., aj, ). On peut tlonc aussi écrire, en posant. |)Our faciliter récriture,

a', = //,, ai = i(,, . . ., Ï5/^/= - .'■, r- ■':, h . . .— .r„ - —

■2 \ âUi OUi dUn

Il — "//)

b'autre part, on a ( n" ^299)

yi = a', Jc, -f- a( x^ -+-... -r- o.',, .Vn ;

don(

D'où

■i \ du.

dlln j

= S,(«|;ri-r-. . .-h UnXn).

I dhi

">■ du,,

D'une manière générale, 5t l'on di'sii^ne par Ui, Uy u n ^c'> clt'inenls

d'une même colonne du délcrniinanl ;j. de {•î\), on doit avoir des relations de la forme

I ÔM

2 du.

I dbi

•?. du-i

où s désigne une inconnue auxiliaire, i:jui doit devenir, après la substitution, le coefficient du carré de même rang que la colonne considérée.

Les équations (33) sont linéaires et homogènes; pour que (34) puisse être vérifié, il faut que leur déterminant soit nul(n"29'2), ce qui conduit, pour déterminer S, à l'équation suivante :

a\ — S ttf a!, rtl — S

Cette équation, qui est Nisihiemciit de d('gi'(; //, s'appelle réi/unlion en S de la forme quadralUjue oj. On peut établir à son sujet dilléreiites propriétés, entre autres qu'elle a toutes ses racines réelles si les a{ sont réels. Mais nous ne pouvons entreprendre ici cette élude, qui sera d'ailleurs faite en détail dans le Tome H, pour les cas de n = ■>-. et de n = 3. Voyons seulement comment de sa résolution on peut déduire lu solution du prohlcme (jue nous nous sommes posé.

Boinons-nous au cas où il n'y a (jue des racines simples. f|ue nous ap])elons Si, S2, ..., Sn. Les équations (33), où S est supposé représenter une quelconque de ces racines, ont un d('-terminant principal d'ordre n — 1, car si tous les mineurs de 5(8; étaient nuls, la d(-rivée o'(Sj. qui est, au signe près,

FORMES QUADRATIQUES. 887

la somme des mineurs relatifs aux. éléments de la diagonale principale (n^SSSj, serait également nulle et S serait racine multiple. La solution générale du système (33j est donc déterminée à un facteur jMès, lequel se calculera, au signe prés, en portant dans (34).

Chaque racine de (35) nous fournit donc une colonne de a. Je dis maintenant qu'à deux racines différentes S et S' correspondant deux colonnes liées par la relation

(36 j Uiii

qui, a\ec (34), caractérise les substitutions orthogonales. En effet, en tenant compte de (33) et des équations analogues accentuées, on peut écrire

~[ic, — +...^u,.—J = ^{u,u, + ...^a,,u„),

- "l-r^ — . . .-H Un-—- ) = b (UiUj^. . .-h u„u„). 1 \ Ou 1 Ou^ I

Les premiers membres étant égaux (n° 307 j, on en déduit

(S — S'; ( Ux U\ -\- . . .-^ Un U'n ) = O,

c'est-à-dire (36), puisque S 7= S'.

Il ne nous reste plus qu'à vérifier qu'o/î a bien l'identité ii'^ ). Nous sommes assurés de(a9). Multipliant par j^/ et ajoutant toutes les équations analogues, il vient, en se servant de i i\ ) et (21),

dlO ■ d(M

O-rn

1 ÔM

n I OM V^ 1 f)M ^^

= — ■ — 7 3f', r,-+- . . .H — - 7 3t , Yi

\ [ diji do) \ ,

= - ,ri i-. . .-H Xn = w(.r,). C. Q. F. D.

•2 \ dri àxn I

311. Forme adjointe. — Supposons que le discriininaiU o de M [Xi) ne soit pas tuil. Les formules

(37) y^=.ô7rz/''-''^

définissent une substitution linéaire (n° 297). Les nouvelles \arialjles Yi sont appelées variables adjointes. De (jj), on tire (n** 297)

en posant

et désignant par A^ le mineur de o relatif à a'-. Si l'on porte ces valeurs des Xi dans w(^,), on obtient une nouvelle ("orme quadratique Çl[yi), qui est dite la forme adjointe de la proposée.

Au lieu de porter les xi donnés par (38) dans w(:r,), on peut les porter dans

>(.n)^9.{yi)^^.riyi,

d'après (21). De là résulte un mojen élégant pour calculer £2 sous forme de déterminant. Eliminons les xi entre les n -\- i équations linéaires (3- ) et (4o) (n" 291)

«1 Ji

Pour en tirer rapidement Q, écrivons^la dernière ligne j'i -+- o, ^^2-^0» •■■î JK((-f-o, 0-+-Û; puis décomposons notre déterminant par la règle du n" 281 (th. III).

yn . o

Le second déterminant (Uiinl développé suivant la dernière ligne, on a

y\ y-i ■■■ y» " 312. Nous savons que If/ /'o/-nie polaire se conserve dans loiitc

FORMES QUADHATIQUES. 889

suhsliliilion linéaire (n° 308); on a donc identiquement

(42) co (, rv |, /•;■) = £2 ( 7,- 1 ;■;■),

Il n

ou, en tenant compte de (3j),

Comme ceci doit avoir lieu quels que soient les j'^' , on a

I ôQ.

11 résulte de là que la forme adjointe de ii(j'<) est oj (x,). Il y a réciprocité entre les deux formes quadratiques.

En comparant (4^) avec (38 ), on voit que les coefficients de ù ( yi) sont les a/ définis par la formule (Sg), ce qu'on |)0urrait d'ailleurs vérifier directement sur la formule (4 0' ^'^ développant le second membre suivant la dernière colonne, les mineurs étant à leur tour développés suivant la dernière ligne.

Signalons, pour terminer, les différentes manières d'écrire la forme polaire, d'après ce qui précède :

dtà I V^ àiM

I V^ , (VQ I V^ Ôiî -^ -^ ,