Soit donc
(2) Un= 'fnU„-i-h hn,
a,t et hn désignant deux fonctions données de n.
Ecrivons, les unes au-dessous des autres, la relation (3) et celles qu'on
(') Pour le Ciis (l'une iL'ialion lini^ain- à plus de deux inconnues, le lecteur pouriM consuilcr un article de M. II. lîegliin. diins l;i llcviie de Malhcinaliques spéciales (décembre 1912),
SUR LES RELATIONS DE RECURRENCE. Bgi
en déduit en remplaçant n puv n — i , /i — 2, 1
a^Uii—i lin— 2 = f'f/i— 2 "/(— 3 -+- Oii—n
(7^rt„l...rt3 Ui = a-i lli -H 60,
Xoiis allons maintenant éliminer //i, i/^ //„i entre ces n équations.
A cet elTet, nous multiplions par les facteurs indiqués à gauche et nous ajoutons; il vient visiblement
(4) 11,1= 6„— bn-ifin— ^,i-2««««-i-^. . .
— b^andn-i ■ ■ -«3+ bia,ta,i-i . . .«srt.,— «,,««, . . .a^rn ih.
Comme on le voit, l'expression obtenue e>t assez compliquée. Elle peut néanmoins quelquefois se simplifier, quand les coefficients a el b sont convenal)les.
En particulier, il y a lieu d'examiner à part le cas oit la relation de récurrence est à la fois linéaire et homogène . Les 6,, 6^, ... sont nuls et la formule (4) se réduit à
(5) 11,1=. UQ.aia^. . .a,i,
ce ([u'on peut d'ailleurs obtenir très rapidement en multipliant membre à membre toutes les équations (3) et divisant, de part et d'autre, par
313. On peut arriver quelquefois ;i .st/;?/?/(//V/' /es calculs par un changement d'inconnue.
Essayons, par exemple, de rendre la relation {:>) homogène en posant
(6) »,j =(,•„-!- A (A = const.).
L'équation (>) se transforme en
( 7 ) ''/i = «« ^n-\ -r- ( «;2 — I ) A -h bn ■
Elle sera homogène si (8) («7„— I )A — è„ = o.
On conclut de là que la relation (2) peut èlre rendue homogène toutes les fois que le rapport -^ est constant (^).
(') Ceci est toutefois en défaut si ce rapport est nul, c'esl-à-dirc si a„ = i. Mais, dans ce cas, il suffit d'ajouter les relations (3) pour obtenir
3(J2 NOTK I. — SIR LKS RELATIONS DE RÉCl RRENCE.
En particulier, cela arrive touJDiirs. si la relation est à coefficients constants.
Si la relation est donnée sous la for/ne générale
a„ Un -+- li„ ;/„! -+- Y„ = o, le critérium précédent devient — ^ = const.
316. On rencontre quelquefois des relations de récurrence non linéaires pouvant le devenir par une transformation convenable. D'une façon générale, si la relation |)eut se mettre sous la forme
(9) a„f(Un)^ bnf{ U,i-l} + C,i= O.
il suffit de poser i'„ — f(u„). Ayant calculé (^„, on en dé(Juit u„. C'est ainsi que toute relation de la forme
(10) (Un )•■''■{ U„-i)''n = C„
se ramène à
(11) a^Vn-^ bnV,i-i= d,i.
SI I on pose
log«,;, f/„=logc„.
r-n particulier, si — = const.. on pour/ a se ramener ft une relation
logc„
linéaire et homogène (n"315). Ceci arrivera si «„, i„, c„ sont des constantes.
317. Disons un mot. pour terminer, duue méthode qui réussit quelquefois et qu'on pourrait appeler méthode des tâtonnements. Elle consiste à calculer u„ pour les premières valeurs de l'indice, puis, par l'examen attentif des résultats obtenus, à deviner l' expression générale pour n quelconque. On démontre ensuite (|ue la formule devinée est exacte en raisonnant par induction, c'est-à-dire qu'on prouve qu'elle est vraie pour n -\- i . si elle Test pour n.
Celte méthode est quel(|uefois très simple; mais elle a l'inconvénient de n'ofïrir aucune génëralilé et d'exiger souvent une grande perspicacité de la part du clierclieur.
