SUR LE RAPPORT ANHARMONIQUE DE QUATRE NOMBRES
318. Étant donnés quatre nombres distincts .Zi, .Tj, x^, x,^, on appelle rapport anharmonique de ces quatre nombres^ pris dans Vordre où ils sont écrits^ la quantité (*)
.r3— .ri ..z-i— .ri
(i) (a71.r2.r3 .ri) = :
.r3 — jc^ je ^ — .r2
Si Ton modifie Tordre des nombres, on obtient , a priori^ autant de rapports anharmoniques quil y a de permutations de quatre lettres, c'est-à-dire if\. Mais, ces rapports ne sont pas tous distincts. Démontrons, en effet, le théorème suivant :
Théorème I. — Si Von échange deux des nombres et en même temps les deux autres^ le rapport anharmonique ne change pas.
Je dis que l'on a, par exemple,
{xiX^XiX!,) = (j:2-r).r4.r3).
Cela s'écrit
.r:j — .ro ■ .r* — .r2 x,, — x^ ' x^ — .r,
ou
.r3 — .ri Xit —Xi X4 — .r2 x^ — .rj
.r3 — x^ x^ — Xi x^ — Xi X'^ — .r2
ce qui est évident.
Le lecteur vérifiera de même les identités
( .r3 x^ Xi X2 ) ^ ( x^ x^ x^ .ri j = (, «r 1 x^ -^3 x^ j.
(') Nous supposons les quatre nombres finis. Mais on peut aussi imaginer que x^, par exemple, croisse indéfiniment. Le rapport — •' leiul alors vers i et l'on peut
a^j x^ Haag. — Cours, L aS.
394 isiovE II.
Corollaire. — H f <^ ^" plus sir rapports anharinoniques distincts.
En effet, on peut toujours supposer, grâce au théorème précédent, que le nombre ,r, est amené à la première place. Il reste alors à permuter seulement a*,, .Tj, ^4, ce qui donne six rapports.
Théorème II. — Si l'on échange les deux derniers nombres {ou les deux premiers)^ le rapport est changé en son inverse. Car
( .rj Xi Xi, X3 ) —
Corollaire. — Il suffit de calculer les trois rapports {xiX^^i^i,), {Xi^i^x^x-i), (.c^x-^x^Xi), obtenus en permutant circulairement x^, ^3, x^i,- En prenant leurs inverses, on aura les trois autres.
319. Calcul de tous les rapports en fonction de l'un d'entre eux. — Parlons de l'identité (*)
(3) (.2-2— .'•i)(.r4— .rj) -+-(x3—.x:i)(x2—J^i) -i- ( .^^4 — -ri ) ( ^'3 — ^2 ) = »,
qu'il est aisé de vérifier, soit en effectuant les calculs, soit en observant que son premier membre est un polynôme du premier degré en Xi, qui s'annule pour les trois valeurs distinctes x^, ^3, ^i,j donc quel que soit Xi (n° 205, théorème I).
Divisons successivement celle identité par chacun de ses termes, nous avons, en appelant )., fx, v les rapports anharmoniques {x^x^x^x^), [XiX^XjfX^i^ {XyXifX^x^) :
