I II

Ces trois équations doivent se réduire à deux au plus, sans quoi elles détermineraient les valeurs numériques de À, [j., v, indépendamment de Xi, X.2, X;i,j X4, ce qui est évidemment ab-urde.

Effectivement, des deux dernières on tire

en portant dans la première, on obtient une identité.

Nous voyons finalement, en tenant compte des théorèmes I el II, que

(') Géomélriquerncfil, si l'on a quatre points M,, Mj, .M3, M^ sur un axe, on » l'idcnlilé

SUR LE RAPPORT ANIIARMONIQL E l»E QUATRE NOMBRES. Sgâ

si 1 désigne l'an des rapports anharnioniques de quatre nombres donnés^ ils sont tous compris dans la liste sdiranle :

320. Proportion harmonique. — Les quatre nombres .r,, .r,, jc^, a^, pris dans l'ordre oii ils sont écrits^ sont dits en proportion harmonique si Von a {oc^ x^oc^x,^) :=^ — i ( * ).

D'après cette défînilion et les théorèmes du n° 318, la proporlion liar monique subsiste si Too échange x^ et x^ ou X:^ et x,^, ou les groupe-, (ri, x.^) et (j:3, x,^). Autrement dit, la condition d'harmonie est symétrique par rapport aux deux groupes {x^, x,) et (.Tj, x^)^ ainsi que par rapport aux deux lettres de chaque groupe.

Du reste, cetle condition peut s'écrire

.^'3 J0[ JC\ Jl[

JC^ X^ ,X'4 .^2

ou

{X3—Xx){X'^ — Xi) -h {x-i — Xi){x^— Xi) = G,

OU enfin

(5) ixi-^X2)(x3-h Xi) = 2(.ri.r2-!-.r3.ri),

comme le vérifiera le lecteur en développant les calculs.

Sous cette forme, les symétries précédentes sautent aux yeux.

Cas particuliers. — La condition d'harmonie est particulièrement simple dans les deux cas suivants ;

Premier cas : j?, := o. — L'équation (5) s'écrit

-t2(-f3-i--n) = 2.r3.rt,

ou, en divisant par x-^x^x^,

Le nombre x,, est dit la moyenne harmonitiue des nombres x-^ et x^ (2).

(') La liste (4) se réduit, dans ce cas, aux Irois nouiijics — i, 2, -• (^) Si, en même teinps, x.. est irifiiii, on a x^ = — x^.