ANALYSE COMBINATOIRE. FORMULE DU BINOME

3o cartes autres que le roi et l'as de cœur, et réciproquement. Donc, quand on tourne las de cœur, il v a C.j„ manières d'avoir le roi. Il en va de même chaque fois que B n'est pas un roi, ce qui peut arriver 28 fois et donne, en tout, 28. C^^ cas favorables.

Il peuL arriver inaintenanL que B soit an roi. — Si, par exemple, B est le roi de cœur, le groupe A donne une combinaison 5 à 5 des 3i cartes autres que ce roi. Il y a donc C^j cas où l'on tourne le roi de cœur. En tout, il y a 4.C3, cas où B est un roi.

Le nombre total des cas favorables est finalement ^S.Cj^ 4- 4- C3 , .

La probabilité d'avoir le roi est donc

2.S.CI0 -i- 4 G|, '28.30,29.28.27.5 -H 4. 3i .30.29.28.27 27. C|, 27.32.31.30.29.28

ou, en divisant haut et bas par 80.29.28.2-,

. . 28 . 5 -^ 4 • 3 1 GT) 33

(2) p = ; = — — = = 0,27 (par excès),

II. Le premier jouearn'a pas donné les cartes. — Dans ce cas, il ne peut avoir le roi que si celui-ci se trouve dans le groupe A, puisque la carte B ne lui appartient pas. D'après ce qui précède, le nombre des cas favorables est alors 28. C^^,; la j^robabilité est

/ox ' 28.Cjn 28.:! 3J ^ j'f .X

( 3 ) p = :rr- = — = = o, I 4 ( par deiaut).

^ ' ' -'-J-'-lo ^•^•'31 ^48 ' * ^1 >

Le rapport ^ est e^al a -r :^ i ,bQ ( par excès). P ' 3 3 " '

Conclusions. — Des calculs précédents nous pouvons conclure que le joueur qui donne les cartes a un peu plus d'une chance sur quatre

d'avoir le roi ip est un peu plus grand que - 1> tandis que son parte-

naire a un peu moins d'une chance sur sept \p' <^-)' De ce point de vue, il V a donc environ deux fois plus d'avantage à donner qu'à ne pas donner ( ' ).

(') Quand on dit que le premier joueur a une chance sur quatre d'avoir le roi, on veut dire que sur un très grand nombre de parties, il yen aura approximativement le quart pour lesquelles cet événement se réalisera. Mais, il serait évidemment absurde de prétendre que sur quatre parties consécutives, il y en aura toujours une et une seule qui donnera le roi. L'expérience montre au contraire qu'on peut avoir le roi plusieurs fois de suite, ou bien ne pas l'avoir pendant très longtemps. D'une façon générale, pour que le calcul des probabilités ait quelque signi/icolion pratique, il faut que les événements au.vquels if se rapporte soient répétés un très grand nombre de fois.

•2. Combien de mots différenls peut-on former a<.-ec les lettres du mot « administration » ?

Tout d'abord, nous entendons par mol un assemblai;e quelconque de lettres, n'avant pas forcément une signification. Deux, mois diflereront par l'ordre des lettres. On a donc en somme à compter des permutations. mais dans lesquelles certaines lettres {a, n, t, i) sont répétées plusieurs fois. Ces permutations, un peu difterentes de celles du n° 16, portent le nom de permutations avec répétition (' ).

Pour les compter, commençons par placer les deuN. lettres a. Il y a en tout 14 places. De plus. Tordre relatif des deux lettres a n'importe pas, puisqu'en les échangeant on retombe sur le même mot. A chaque manière de placer les a correspond dès lors une combinaison 2 8 2 des 14 places possibles et réciproquement; cela nous fait doncCj^ manières. Les a étant placés, nous plaçons d dans l'une des 12 places restantes, ce qui peut se faire de C}., manières. Il y a donc en tout Cj, .CJj manières de placer les deux lettres a et la lettre d. On place ensuite m dans Tune des I 1 places restantes, puis les trois /dans trois des 10 places restantes, et ainsi de suite.

Finalement, on voit que le nombre des mots différents est

cuc\,c\,C],Gu:icicic\