ANALYSE COMBINATOIRE. FORMULE DU BINOME
ajoutons en colonnes ('). Le premier membre, à l'exception de son deiMiier terme, est détruit j^ar la première colonne du second membre, abstraction faite de son premier terme. La deuxième colonne du second membre devient visiblement, en y mettant C,î^,ren facteur, C^+ir.S„. La troisième colonne devient de même C,-,^ir-S„ , ; etc. Finalement, on a
(2) [rt + (p -1- i)r]''-> = a«^i + C;,^, r S„ + Cf,+, r^ S„„i + . . .
Cette formule de récurrence (Note I) permet de calculer S„ en fonction des sommes d'indices moindres, lîn l'appliquant pour les valeurs successives de «, à partir de /< = i , on aura, de proche en proche, les valeurs de Sj, S,, S3, ....
EXERCICES PROPOSÉS
1. Former le Tableau des permutations des 5 lettres «, b, c. d, e.
2. Former le Tableau des arrangements 3 à 3 de ces 5 lettre*.
3. Former le Tableau des combinaisons 3 à 3, puis 4 à 4, des lettres rt, b, c, <:/, e, /.
i. Combien de mots peut-on former avec les lettres du mot
« musique »
5. Même question pour le mot « perpétuellement ». {Cf. exercice résolu n° 2.)
6. Combien d'airs diflerents peut-on former avec les 5 notes : do, n'% mi, fa, sol, en supposant d'abord qu'aucune d'elles n'est répétée et que l'air comprend quatre notes de même durée, puis que l'air comprend huit notes de même durée, un nombre quelconque d'entre elles pouvant être identiques.
(Dans le second cas, on a des arrangements avec répétitions. On peut former leur Tableau suivant un procédé analogue à celui du n" 20. C'est ainsi que, dans l'exemple actuel, en supposant formés tous les airs de sept notes, on aura ceux de liuit en ajoutant successivement à droite de
(') Nous enlcndons par là que nous allons grouper ensemble les termes qui seraient écrits les uns au-dessous des autres. Le lecteur est prié d'écrire en'ectivcment les/>--i é([ualions les unes au-dessous des autres, afin de mieux saisir les réductions qui se |)r()rluisent dans l'addition.
8 CllAPlTRK II.
chacun d'eux les cinq notes données el non pas seulement celles qui pourraient être absentes de Tair considéré.)
7. De combien de manières différentes peut-on placer 12 convives autour d'une table? Même question en supposant qu'on alterne les dames et les messieurs.
( Dans le second cas, placer d'abord les dames, puis les messieurs.)
8. On donne n points dans un plan; on les joint par des droites de toutes les manières possibles. Calculer le nombre des points d'intersection ainsi olUenus. (E. P.. 1912.)
(Ne pas oublier d'enlever des points d'intersection les points proposés, dont chacun doit compter C,^i fois.)
9. On jeLle un dé non truqué; (|uelle est la probabilité d'amener le numéro 6, ou bien un numéro inférieur ai?
10. On prend un domino dans un jeu complet. Quelle est la probabilité d'amener une somme supérieure à 8?
11. On tire 5 cartes d'un jeu de 32 caries. Quelle est la |)robabilité d'amener 5 cartes rouges, ou bien i. 2, 3, 4 rois?
\'l. Une loterie contient 3oo 000 numéros, dont 1000 gagnants. Une personne en prend 10. Quelle est la probabilité pour qu'elle gagne I, 2, .... 10 lois ?
(A chaque façon de gagner p lots correspondent une combinaison des 10 numéros choisis p à p et une combinaison des 3ooooo — p numéros autres que ceux de ces lots 1000 — p à 1000 — p.)
