Soit la courbe
( i) jc^^z^ X- -^ y-.
1° Calculer ses équations par anièliiques rationnelles.
2" Condition pour que trois points soient en li^ne droite: [joints d' inflexion.
3° Condition pour que les tangentes en trois points soient concourantes. Lieu du point de concours, quand ces trois points sont en ligne droite; enveloppe de cette droite.
4" Condition pour que six points soient sur une im-me conique.
5° Condition pour que trois points Mj, M2, M., soient les points de contact d une conique lritan:^ente. La droite^l.^'SX^ rencontre la courbe en P, ; démontrer que < )P, est perpendiculaire à < >Mi et que les trois points }*,, 1'.^. P3 sont en ligne droite. Calculer les coordonnées du centre de granité G du triangle M, M^ M:- et trouver V enveloppe de la droite \\ \\ P^. quand ce point décrit une droite parallèle à <J )', 1 roaver l'équation générale des coniques tritangentes.
6'' Montrer qu'il y a trois familles de coniques ayant. a\ec la courbe, un double contact du second ordre. Pour cliaque famille, la droite qui joint les points de contact passe par un point fixe situé sur la courbe.
~° Trouver les coniques qui ont, av<c la courbe, un contact de cinquième ordre.
I ' Nous avons une cuLii(ue à point double, donc unicuisidc 1 n" 2()0). Pour obtenir ses équations pariimélri((ues lalionnelb"-, nous la coiijion> |>ar une drfjile variable issue du point double, soit
( >. ) y := tx.
•>. 19. CIIAI'ITUK XVIII.
l*oilant dans ( i ), iiou> avon-, m divi^H^l par ,r', (3) u- — i ^ l\ y z=L t + i^
Telles sont les é(|iialioii5 |taiatnétri(|aes demandées.
2° Coupons par une droite (|U('lcon(|ue ( ii° ^G7 ) ( 4 ) ux -^ r )- -L- (T- =r o.
L^éi|uaLion aux t des points (rinlerseclion esl
« ( I + r- ) -t- t' ( / + ^^ ) + IT' :--r
OU
(• / ' H- li (--h Vt H- « -H (T- = O.
l'icrivoiis les relations enlre les cocfficienls et les racines
I-,a deuxième est indépendante de it, v, tv; c'est donc la condition demandée, soit
o- 1 1- -"''il - •
bi on la supi)0se remi)lie, on tire — et ~ tles deux, outres e(|uations ( o),
ce (|ui |»ermet d'écrire réipiation de la droite, en fonction de /,, /ji ^s? sous la forme
La (Condition ((3) prend une forme élégante, si l'on introduit les angles polaires aj, a-i, «s des trois points considérés. D'après ( 2 ), ces angles ont pour ta!ii;ente> res[)e(lives tx, t^, t:^. Dès lors, (6) [leut s'éi'ijre
(8 j I — ta 11 g «2 ta II g ^3 — taiig3^3 tanga, — tan g a, taiig a^^^ o*
Or, on a la formule ( t. 111 )
taiigai-h tanga,+ tani^a., — tauga. tauga, tanga-,
(o) tang(a, + a.,+ a3)=: ^-! 5 J __^.J ^i »? e i.
^ I— tanga.;tanga:j — taiigastaiiga, — taiigaitaiiga.,
La condition (X| é(|uivaut donc à
ta 11 g (a, 4- «2 -)-«:()== -^
COLKBKS i;r SLRIACES LMCLriSALKS.
OU
à At: près.
Les points d'inflevion soiil obtenus en falsoul, dans (6), fj = /j =r /;, =r t, ce (|ui donne 3/-= i ou
(II
Nous avons donc deuv points d'intlexion I et I'. svmétri(|ues par rap- ])orl à Ojc ('). Le premier, par exemple, a pour angle ])ûlaire —) pour
coordonnées ( —, — = 1 et pour tangente la droite dont léquation est V-^ 3v^3/
obtenue en faisant 11 = 1^^=1^= —=. dans ( - i, ce ((ui donne
S/ojc — y— -^^ o y o
3" Commençons par former ré([uation de la langente au point M, de ])aiamètre t. On pourrait le faire directement, d'après la méthode générale du n° 192. On peut aussi utiliser ré([uation (7) en y faisant ti^^ 1^^= t
et ^3 = ; — j conformément à (6). < )n obtient, tous calculs faits,
it
/- + I ) ^ — Il y — ^L--\- \)--
Cette é([uation peut, maintenant, être regardée comme ré([uaUon aux L des })oints de contact des tangentes issues du point F(a^, r). C)r(lonnons-la ( - ) :
t'*+ {1 3j;)/2 ily -{- I
Éciivons les relations entre les coefficients et les racines, en mettant en évidence la racine ^i et désignant toujours par ,y,, .Vj, s-i les fondions symétri(|ues élémentaires de ^,, /.>, l^ :
(l5) 5,-1-^4 1=0, 5,4- /i5i =r ■'. ix, 53-T- /..S.2 = -- J.J, t'^S-i^zl — X.
Eliminons maintenant Z^, x et y ( n" 207 ). Nous tiions des deux c(| na-
(') Ajoutons qu'il y m a un troisième à riufini sur ()y, la langcnLe étant la droilc lie l'infini.
{'- ) Elle est du quatrième defirc; donc, la courbe est de quatrième classe (11° 2VI).
il4 CIIM'ITUK WIII.
lions evlrèmes
(i6) /. nr — 5,, .r 1= I -f- 51.V3.
l^oitanl dans la deuxième, nous avons la condition demandée
(17) S.y—S] -^OS^S^-h 1 = 0.
Si on la suppose lemplie, les coordonnées du point P sont
Supposons maintenant (|ue les trois [)oinls de contact considérés soient en ligne droite. Nous avons, à la fois, (6) et ( 17 ). Si nous posons Si -; À,
nous tirons de ( 17 ), en tenant compte de ( (3 ), Sy= — -^ J'oilant dans
(181, il vient
Telles sont les équations paramétri(|ues du lieu du point P. Si l'on observe que À ^- —5 on a immédiatement son équation implicite :
( 20 ) 3 jry- — JL'- — Y- = o.
Le lieu est une cubique (M. Poitons maintenant les \aleurs de i',, s^ dans Téquation (7); nous obtenons ré(|uation de la droite (|ui porte nos trois points :
(■u) 3/-^ —- 3ÀJ — ''.(i + >.-) — o.
l'^n écrivant (|ue celte é(|uation admet une racine double en 7. in° ill^l).
(') l'Mlc coupe I;i piv)[)f)séc au point O, qui or)rnple pnur six et aux trois points (l'indcxion. On le voit aisément en retiancliant (fn) de (1). Quand I' est en 1, trois des tan;,'cntcs issues de ce point se confondent avec la tangente d'inHexion. Les trois t)oinls de contact se confondent avec 1 et sont en lif;nc droite, sur la tanf;ente. Au reste, on a, dans ce cas, a — ^6 et il est aisé, dès lors, de vérifier les conclusions précédentes sur les équations (19) et (21).
La tansente d'iullexion est tan;;cnlc ii la paiabole ('>) au point (-» )>
5yniétri(|ue de I par rapport au point de rencontre de ladite tangente avec Ox.
COLRBES ET SI RFACES UMCLUSALES. ili
nous avons ré(iuation de ren\eIoppe demandée :
(■^2) ' QT'-H- 8( 3j^ — '0 = o.
