I. "enveloppe est une paiabole

\° Coupons })iu- une coniijue (|iielt'oni|iie ( iS ) A .T- -!- ■? B jcy — Cy- ^ i D ^ -^ -i E r -h F ^n o.

L éf|ualion aux / des points d'inleiseclion est

(A 4- ihi ^ C/-)(i — r-y-^ ^(D-f K/) M ^ r-)^-^ f^o

ou

Si nous prenons, pour fixer les idées. C =: 2, les lelations entre les coefficients et les larines nous donnent sueressi\'emeiit

l>=r— .?!, X^>.{s^ — 2), E^i'iSi — s-i, D = 3 -i- .V4 — 2 s»,

5, — 53 -^ S:, ^3 u, F ;== 2 ( .Se -r- .Vo — -Vj — I ).

La cin(|uième de ces leialions. soit

(25) Si — 53-1- .Vj m O,

est la condition demandée. Les auties nou- donnent les coeflicients de ré<|uation (28). qui devient

( 26 ) ( ^2 — 2 ) iC' — .S, a:y -^ >'-

-h (3 -^- 54— 2s,)jr -i- ( 2.V, — S3) y -4- s,— .v^-i- s^— \ = o.

( )bservons <|ue la condition ( 2.5 1 |»eul encore sinlerpiéter élégamment, pai- l'introduction des angles [)ol;iiies a,, y..,, ..., a^ de nos six points. Le premier membie de ( 25 i est, en eflet, le numérateur du fléveloppement de lang ( a, -H a. H- ... + a,, ) (t. lll 1. Dés lois, la condition é(jui-

NiUlt à

(•>.7) a, — ao-i-. . .-^- asi=<),

à / - près.

( ') L'origine est foyer, car i'cquation ( 21) montre de siiile que les tangentes issues fie ce point, olitenues pour a — ±: /, sont isolropes.,(n'' 514).

5" La coni([ue (26) sera liitangente si les six points considérés piécédentiment viennent se confondie deux à deux. \*,\v exemple, supposons a, = «2 = a,, 3f3 — a4 = a2> x^^ ^-6 = 03. La condition [2-) devient, en rélablissanl /. 7: au second membre,

■?. ( «1 -h «2 •+- «3 ) = /.TT

Si Ton suppose /, impair, on retrouve la condition ( 10); les trois points de contact sont en ligne droite : la conique se réduit nécessairement à une droite double.

Cette solution banale écartée, il nous reste à supposer k pair. Cela nous donne la condition

(■i8) ai + a2+a3 = o,

à Ati près. Telle est la condition (|ue doivent vérifier les angles polaires des trois points M,, Mj, M3 de l'énoncé. Soit |3, l'angle polaire du point P, où la droite Mo M3 rencontre de nouveau la courbe. D'après (10), nous avons

p^-{~ a^^ 03^1= —• En retranchant de (28), on trouve

rt, =:

Cela prouve <|ue ( )Pi est perpendiculaire à (JMj.

Ajoutons maintenant les trois é<|uations telles (|ue (29); il vient, en tenant compte de (28),

O 1 retombe sur la relation (10 ). Les trois points I',, Pj, P3 sont donc en ligne dioite ( ' l.

Si (),, 6*2, 63 désignent les paramètres de M], M2, M3, les coordonnées du cenlie de gravité G sont (n° 23)

Cj Cela résulte aussi du n" 509.

COURBES ET SL RFACES l XKLRSALES. il'

Soient c,, c.2, 7.) If5 fondions symélii(jiies élémentaires de $,, 9.^, b^. On a (t. I, n-^ ±±\)

0] ^ 9] — 61 — <7i{ 7] — -l (72 ) — 7., CTi — 3 (73

D'autre part, si l'on annule, d'ajirès (281, lang l «1 -H «2 + ^'3); o" trouvée, t'n s'appuyant sur la formule f^g),

Posons, dès lors, o"i ^ 7.3 := /.. s", ^^ a : nous avons

Portant dans (3o), il vient

L*éf[uation de la droite P, \\ V, nous e-t donnée [)ar ( -), où Ion doit -u])poser, en vertu de (29),

On obtient ainsi

Si (i décrit une ])arallèlf à Or, X demeure constant. D'après (32 j, on a une relation de la foime

Movt-nnant (|uoi. (33) devient

Celle é(|uation étant du second dej,M é en /.. on a immédiatement ré(|ualion de lenveloppe demandée 1 n^' 'll'I) :

i-'enveloppe est une ellijne, une h\ perbole ou un»- parabole, ^'uivant i|ue A' est < o, > o ou :^ o.

Il nous reste maintenant à trouver réijuation de la coni(|ue tritangenle.

21^ CHAI'ITRK XVIII.

A cet efifet, >ervons-noiis de I é(|Uiitioii ( 2i\) . Il nous faut calculer Si, 5.2, . . ., .Vg en fonction de (T,, (7.,, (7,^. < )ii ])ouriait le faire diieclement, eu partant des expressions des v,, éciiles tout au long, où Ton ferait ensuite /jizr/o^^ij h^= (■1*^=^-2, ^5 = ^e = ^.i- I' est plus sim])le d'observer (|ue les deux [»olynonnes

doivent être ideiili(|ues. l/idcnlificalion donne de suite

5i=2(Ti, 52 = a'j + 'iTa, 53= 2(a-,g-2 -t- <7;t),

■y4=<7^ + ■'.a, 0-,, 55= ^o-^as, s^=(jI.

Si Ton [>orte dans (^5), on obtient ré(|ualion

((7, — !73)(l rj,)— O,

([ui nous redonne des résultats précédemment trouvés.

Si l'on tient compte des notations adoi)tées tout à l'heure, on a

Si = '>, "/., S.2 — /2 -^ i ja, 53 — 2 / ( fj. + 1 ),

54= [x2+ 2/.-, 5i='îX;jL, ^B^:::/*.

Portant dans (26), nous obtenons ré(|uation demandée :

( .'îô ) ( X- + 2 /ji — ■2)x^ — ■>. / xy + j-

+ (p. — i)(jj. — 3).r + 2X(i — /a.)/~-([j.— "1)2 = 0.

G" Soient y. et a' les angles polaires des deux points de contact M et M . Nous devons satisfaire à ( 2j ) en prenant a, = a., := otj = a et oti = «3 ;^ a^ :rr a' ; ce qui nous donne, en rétablissant/.;: au second membre.

Nous avons trois solutions distinctes et trois seulement, obtenues pour /. z=r o, 1,2.

La solution /. iz; o nous donne a' = ^ a. Les deux points M et M' sont symélri(pies pai- lapport à < ),r. La droite MM' passe par le point à l'infini -■ur- ( )y, (|ui est un point d'inilexion de la courbe.

La solution /. 1 nous donne a ~\- a' - -; • La droite MM' rencontre la

courbe en un point M', d'angle polaire a' tel (|ue a + a' 4- a"i:i: — j

COURBES ET SIJRFACES LMf.L RSAI.ES. 219

d'après fio). De là. on lire a" = == —• l.c point M" n'p-l donc

autre ([iie le point d'inilexion (|iie nous avons désigné, dan- 2", pai' l;i lettre 1.

On verrait de même que la solution /i= 2 donne une droite MM' pivotant autour du point dinflexion I' {cf. n° o(î9).

7° Plaisons, dans (27), «i = ^2 ^= . . . ^ ^g ^= ^' Nous avons, en rétablissant At. au second membre,

Il y a six solutions, obtenues pour k := o. 1,2, 3, /j- 5.

/t ^ o. — On a a=o, t=zo,a-:=i.y^^o:, point A. L'équation de la conique se déduit de (26), en v supposant tous les t, égaux à zéro, donc aussi tous les s,. On obtient de la sorte Thyperbole

(Sg) y- — (3A- — i)(j7 — i) = o.

/, = I. — On a a ^ -! ; point 1. La conique est, a priori, la tangente

en ce point, considérée connue droite double. On le vérifie en calculant

Téquation (26) pour /, =; ^2=^ • • • = 'i;= -]=' ^ *" trouve, comme premier

membre, le carré du premier membre de (12). Cette solution est banale et sans intérêt.

/, =: 2. — y. ^ '-i-y t ^- V o, ./• = 4, j = 4 \ o ; point B. Ce point n'est pas

un point d'inflexion. (}x\ doit donc avoir une conique non dégénérée. Pour former son équation, on peut, comme précédemment, utiliser (26). Il est plus simple d'employer (36), en considérant Ôj, 5,, 5,, comme confondus avee y 3, ce qui. donne À =r 3 \ 3, /jLmQ. D'où l'équation suivante :

43^- — Ç>xy \/3 + /- ^ 48^r 48 r v/3 — 64 — o.

f]ui représente une ellipse.

A=r3. — a^=-; point à rinfini sur ()), La conique se réduit à la

droite île linfini considérée comme droite double.

/. :— 4 et 5. — Solutions symétriques des solutions k t- 2 et i par rapport à ()x.

■>)0 CHAIMTHI'; XVIII.

2. Trouve/- les équations paininéuiqnes rationnelles de la courbe

Celte courl»e {leinniscale de Bernoulli) admet pour points doubles les poinis cycliques et rorigine. Elle est donc unicursale ( n° 265).

Prenons-y un point li\e quelconque, autre que les précédenls, soit, par exemple, le point A (i,o). Coupons la courlie par une conique variable passant par les trois poinis doubles et le point A. autremenl dit par un cercle passant par O et A. Ce ceicle a une ri|uati()n de la forme

ty = o.

Formons l'équation aux y des points d'inlerseclion. lÀeniplaçanl jc- -h y^ par a: -+- ty dans (i), il vient

* {j^ -h ty)'- — .r^H-r-^o

ou

2a.- ty + /'^(^-H- i) := o.

Divisant par y. ce qui ne peut éliminer que les poinis O et A, nous lirons de là

Portons dans (2)

.Af'+^y

ty = o.

Supprimant encore le facteur^, il vient

Portant dans (.'>), nous avons ( 5 ) .r :=

Les équations (4) et (5) constituent les équations paramétriques demandées.