Montrer que la surface S

( I ) \/:r -+■ sjy H- \/~z =

est unicursale. Calculer son de^ré.

COLlUiKS KT SlRrACES IMCIRSALES. 221

9." Toute section plane est une quai tique unicursale : lieu de ses points doubles.

3" Etudier les sections par les plans tangents.

1° On salisfail iilentiqueinenl à l'équalion i i i en posant

(2) j:- =r H^, y nrC", z =^ ( u — i' — I)-.

La surface e.^t bien uiiinirsale. Au point M(\r, j', z), nous ferons rorres pondre le point //i u/, i) dun plan () u^\ Ce point ni sera appelé V image (le M.

l'our avoir le <legré <le S, il suffit de la couper par une droite quelconque. Dn obtient deux équations de la forme

A«-— Bi'*^- C( «

(|ui représentent chacune une conique du plan i)uv. Ces deux coniques se coupent en (|uatre points, tous quatre variables ('l avec les coefficients A, B, ( ], I). Donc, la surface S est du quatrième degré ( cf. Gliap. 1\ . Exercice résolu n° 1 ).

2" Toute section plane a pour image, dans le plan O^/r, la conique (3). < )r. cette conique est unicursale ( n*^ 2fJo i. Il en est donc de même de la section puis(|ue, si Ion exprime u et c en fonction rationnelle d'un paramétre t et qu'on porte dans ( 2 i, on obtient évidemment des expressions rationnelles.

< >n sait qu'une quarti(|ue plane unicursale pf)sséde, en général, trois points doubles ( n' 2(j() i. Four obtenir ceux de la section ci-dessus, nous devons chercher un point xM (|ui ait deux images m et ni' distinctes. Nous devons a\ oir :

î. î'. z' désignant zc i . Voyons les combinaisons possibles pour ces trois doubles signes. On doit d'abord éliminer £=:ic':=H-i, (|ui ne donnerait pas deux points ni et ///' di>lincls.