III. f=. — 1, £':= I. — Il faut prendre £'' = -+- i et
Cela donne un troisième point double, dont le lieu est la droite D":
Kn résumé, les trois poinls doubles de la section par un plan II sont les points de rencontre de ce plan avec les trois droites D, D', D", «jui sont trois droites doubles de la surface. Uemarquons (|ue ces trois droites concourent au point r,)(i, i, 1). Donc, si le plan II passe par (,), les trois points doubles viennent se confondre suivant le point triple w, qui est un point triple de la surface (cf. Chap. XllI, Exercice proposé n" 18).
3° Si II est tangent, son point de contact est un quatrième point double; donc, la section se décompose (n°266). D'ailleurs, d'après ce (|u'on vient de voir, ce quatrième point double ne saurait avoir deux images distinctes, sans quoi il serait sur l'une des droites 1), D', D". C'est donc que la conique (3) a elle-même un point double; par suite, elle se décompose en deux droites. A chacune de ces droites correspond une conique sur la surface. L'intersection se compose donc de deu.r coniques.
Les coordonnées ( //, cj du oint double de (3) doivent satisfaire aux
trois é({uations dérivées ( n° 431 ) :
/ Am + C(« -I- «' — i) =^ o, (lo) \ B (^ + G(a + (' ^ I) = o,
Si l'on élimine «, r, on a Véquation langenlielle de la surface (il) ABC + D(BC + CA+AB) = o.
On voit (}iie la surface est de tioisiènie classe.
En résolvant par rapport à u, r, ou a les parainèliies du point de contact
en portant dans (2), on a ses coordonnées
(]lierchons s'il est possible (jue la conique (3) soit une droite double. Les équations (lo) doivent alors se réduire à une seule.
Si C^o, les deux premières doivent être vérifiées identiquement
quand on y remplace ( m + c — 1) par — :; cela exige A zin B = D = o. Le
plan n est le plan des vy. 11 est tangent à S tout le long de la conique \" représentée par l'équation
et dont l'équation dans xOy est
(|ui montre que F" est ui\& para Ijole tangrnir à Or el à Oy.
Les hypothèses A^o et B^o conduiraient à deux paraboles analogues r et F' des plans y02 et sO.r.
l'nlin, l'hypothèse D =z= o conduit à la coniciue F du plan de l'iiilini. qui a pour image la droite de l'infini du plan O uv et qui se trouve sur le cône
( 1 0 ) .T* + y' -\- z- ~ 2{yz + zœ + xy ) = o.
En résumé, tout plan (an geni coupe suivant deux coniques généra-
lenient dislinctes. Mais, il y a quatie plans particuliers, à savoir les plans (le coordonnées el le plan de rin/ini, qui sont tangents à la surface chacun le long d' une conique. Ces quatre coniques de contact sont sur une même quadrique, d'équat on
(17 ) .r- + jM- ;-— 2( j- + zx -f- jc y) — 2(x + y-i-c)-T-i = o.
Nota. — La surface que nous venons d'étudier porte le nom de surface de Steincr. Elle est la transformée liomographique de toute surface non réglée définie par des équations de la forme
(.8) a: = il, y=à, ,= fl,
.f\-< fil fil .f\ désignant ({uatre polynômes quelconques du second degré en «, r.
\. .Montrer ([ue les courbes des l>\ercices proposés n°* 3 et h du Chapitre IV sont unicursales el en trouver les équations paramétriques rationnelles.
2. Montrer que la courlte de ri'>s^ercice proposé n" 5 du même Chapitre est unicursale (|uand elle est algébrique.
3. i'rouver les équations paramétriques rationnelles des courbes
.r (ir- -f- /- ) -4- axe"- +26 xy -+- ex- = o, x^ -+- y^=z a xy,
.r''-+- 2J*+ X^-^r 3.r'-r -h 4 V^= 0> ^fn ^ j/ii —. ym-l .
(a-^ -f- j- )- -H ( 3c ^ + 3 V ) {.f- + y- ) -\- a x^ -+- 2 h xy -+- cy- = o , (./■- — 7- — .r + I )- -H ( x — y )2 ( 2 .z- — y -+- i)"-
