Soit la courbe (C) d"t(|ualit)n

a^ -!- J^ ^= ax"^.

1° Condition pour que les tangentes en trois points soient concourantes. Condition pour que six points soient sur une conique.

2'^ Quelle relation géométrique <loit exister entre deux points P et P' |jour ([ue les jioints de contact des tangentes issues de ces deux points Soient sur une même conique (Si? Lieu de P' quand 1* reste fixe. JMontrer que, dans cette hypothèse, la conique iS) passe par quatre points lixes.

3° Trouver les cercles (jui coupent (C) en six points dont les tangentes sont tangentes à une même parabole (II). Montrer (|ue toutes les paraboles (II) sont inscrites dans un triangle llxe.

G. On considère la leniniscate de l'Exercice résolu n" •!.

i« (Conditions pour <[ue (juatre points Mi, AL, Mj, iM;, donnés par leurs /, soient sur nn même cercle ou sur une même droite.

2° Soient C et C les centres des cercles OMjAL, et OM3M4. Démontr. r ipie la condition nécessaire et suffisante pour (|ue les (|uatre points soient sur un même cercle est que les droites OC et OC soient symétriques par rapport à O.r, Pour ([u'ils -oient en ligne droite, il L ut et il suffit que (v soit la projection de O sur la polaire de C par rapport à une certaine hyperbole écpiilatère (II ).

3" Lieu (II') des centres des cercles tangents à la courbe et passant par ().

IIaac. — /-.'xc/cices, It. 'J

4" Soit 1 le cenlre du cercle laiigenl en JNl et passant par O. Pour (|iie les quatre points Mj, Mj, M3, M; soient sur un même cercle (T), il faut et il suffit que les quatre points 1,, Ij, I3, I4 correspondants soient sur un même cercle (y). E((uation de (y), connaissant celle de (T) et inversement. Pour que (T) soit une droite (A), il faut et il suffit (jue (y) passe à lorigine ; (A) est alors la polaire du centre de (y) par rapport à l'hyperbole (H') de 3°.

5° Par tout point M de la Jemniscate, on peut mener quatre tangentes autres que la tangente en M (deux seulement sont réelles). Montrer que leurs quatre points de contact sont sur une même droite, qui enveloppe (H') quand M varie, et qui est symélri(|ue, par rapport à O, de la perpendiculaire au milieu de OM.

[Pour 2°, poser ^, -h t^z=z p^ Uh~-=^ (]'■, calculer /9, q en fonction des coordonnées de C; puis .Si, ^,1 •^3, ^\ en fonction de />, q^ p' . 7', au moyen du produit {t^— pi-+- rj){r' — p' / ^ q').

Pour 4", calculer les coordonnées de I en fonction du / du point M. Puis, exprimer que I appartient à un cercle (|uelcou([ue (y). Comparer l'équation obtenue avec celles de 1".

Pour 5", on peut vérifier analytiquement, en se servant de léquatiun de la tangente. On peut aussi, plus simplement^ trouver une démonstration géométrique, en appliquant les propriétés de 2° à chaque tangente issue de M et utilisant ensuite 4°-]