Soit la courbe (C

X^t, y^^l', Zz:=zL\

I" Trouver les équations fin plan qui passe par trois points donnés et de la droite qui joint deux points doniu's de celle courbe.

2" Démontrer que, par tout point P de l'espace, on peut mener trois plans oscillateurs à (C), les points de contact étant dans un même plan avec P,

3" On considère deux points variables M et J\l' qui sont en currespondance homographique et involutive sur la couibe, cest-à-dire dont les / sont liés par une relation homographique involutive (n" j YO). Trouver

COURBES ET SIRF.VCE? l XlCl RSAI.ES. 227

le lieu de la corde MM et celui de la droite d'inlersection des plans osculaleurs en M et M ,

.\" Conditions pour que six points ou cinq points de la courbe soient sur une même sphère. Chercher les sphères trifangentes ; lieu de leurs centres; lieu du cercle passant par leurs points de contact; eineloppe de ces sphères.

[Pour 1°, on intrrjdiiira les fonctions symétriques élémentaires des paramètres des points considérés. Dans l'équation du plan, on posera /. = 5, t^-r- t.j=z p, txt^=rj; en annulant le coefficient de 5 et le terme indépendant, on aura les équations de la droite.]

y. Soit la courbe (C)

i"^ Trouver les équations de la sphère qui passe par {|ualre points donnés et du cercle {|ui passe par trois points donnés de la courbe. Lieu de ce cercle, quand son plan passe par une droite fixe ou est parallèle à un plan fixe.

'.° Equation de la sphère osculatrice au point de paramètre t. Par tout point P de l'espace passent quatre de ces sphères. Lieu de P, pour que les quatre points de contact soient sur une même sphère avec 1'. [ Ltiliser les indications données sur lexercice précédent.]

K). On considère la courbe délinie par les équations

1° Condition pour que ([ualre points soient dans un même plan.

2" Montrer qu'il v a deux familles de plans bitangents.

3* Le plan o-culateur en M coupe la courbe en p.. Montrer que, réciproquement, le plan osculateur en fj. passe par M. Prouver que la droite M p. s'appuie sur deux droites fixes, en deux points conjugués harmoniques par rapport à M y.. Le lieu du milieu de M fjt. est une cubique. Condition pour que celte cuijique soit plane. Lieu de la droite M p..

1° Montrer que par tout point P de l'espace on peut mener (jualre plans osculateurs à la courbe et que les points de contact sont dans un même plan passant par P.

I Pour trou\er les droites fixes de 3", on calculera les coordonnées des

CIIAITIHK XVIII.

])oiiits qui divisent M [j. dans le rappoil ± -• \ propos de 3° et ^°, on

vérifiera que les tangentes apparliennenl à un complexe linéaire {cf. Cliap. XIN , Exercic-i résolu n" 4 ).]

1 1. Soit la courbe (C)

^ ce*.

1° Condition pour que quatre points soient dans un même plan.

2° Par tout point A de lespace, on peut mener quatre plans osculateurs, dont les points de contact sont dans un plan passant par A. Le plan osculateur en M coupe la courbe en M'. Montrer que le plan osculaleur en M' passe par M et trouver le lieu de MM'.

3° lùpiation générale des plans bilangenls. Soient M et Mi les deux points de contact de l'un d'eux. Montrer que la droite MM, enveloppe une courbe analogue à (C). Montrer que, par la tangente en M, on peut faire passer deux plans bilangents, de points de contact M, et M^j. l^ar la tangente en M], on peut mener un second plan bitangent, de point de contact M,; et ainsi de suite, jusqu'au point M„, En partant de M,, on peut obtenir, de même, une autre série de plans bitangents, tle points de contact M 2) ^^-3, • • •? M./, . Calculer les coordonnées de M„ et de M-„, en fonction de l'abscisse de M. Trouver les positions limites de ces deux points, pour n infini.

4° l*ar tout point P de l'espace, on peu t mener quati'e plans bitangent?, dont les huit points de contact se répartissent en deux groupes M, M', M", M'" et Ml, Mj, I\r[, M™, tels que les quatre points de chaque groupe soient dans un même plan. On considère les quatre points M„, M,,, M^,, M™, déduits de M, M', M", M'", comme dans 3°, Montrer qu'ils sont dans un même plan (Q^) et (|ue les plans bitaiigents coriespondants concourent en^un même point P„. Calculer les coordonnées de P„ et l'équation de (0„), en fonction des coordonnées de P. Mêmes questions pour les points M,,, M'„, M'L„, M!l„. Montrer que les points P„ et P,j sont tous sur une courbe analogue à la proposée et que les plans (Q„) et (Q^n) sont tous osculateurs à une courbe analogue à (C). Limites de P„, P,m (Q-;). (Q„), pour /i. infini.

12. Calculer, par la méthode du n" 270. le degi'é de la surface de

l'Exercice proposé n" 8 du Chapitre IV. Montrer que cette surface est

coupée suivant deux courbes unicursales du quatrième degré par la

'•urface