Soit le plan (H) représenté par l'équation
,r cos« -+-y sin « -t- ('3 H- cos9. « H- «'-= o.
lo Quand u et r varient, (II) enveloppe une surface (i). Calculer les coordonnées du point de contact, en fonction de w, c.
2° Lorsque c seul varie, (H) enveloppe un cylindre circonscrit à (I) le long d'une parabole (P), section droite d.i cylindre. Calculer l'équation de ce cylindre. Déterminer et construire Tenveloppe (E) de l'axe de
la parabole.
3° Déterminer l'arête de rebroussement deTenveloppe de (II), quand «
seul varie. Montrer que cette arête est une liélice (n" Olo) dont le cylindre rectifiant admet (E) pour section droite.
{Certificat de Mathématiques générales, Cleritiont-Ferrand, juin 1914, ex-trait de la composition écrite.)
11. On reprend les notations de l'Exercice proposé n» -V du Chapitre XII et l'on demande :
1° L'enveloppe de la sphère (S), quand les points M et M' sont quelconques;
2» L'enveloppe de la sphère (S), quand les plans (M, D') et (M', D) sont rectangulaires;
3-^ L'enveloppe de la sphère (S), dans les conditions de 5° de l'exercice
précité ;
4° L'enveloppe de la sphère (S), quand la distance de M' à D égale la
distance de M à D'.
On considère, dans cette hypothèse, le cercle qui a pour diamètre MM' et qui est orthogonal à D. Trouver l'équation de l'enveloppe de son plan, ainsi que les équations paramétriques de l'arête de rebroussement de cette enveloppe.
12. Étant donné le trièdre trirectangle Oœyz., on prend les trois points variables A sur O^-, B sur Oj, G sur Oz. Calculer les équations des enveloppes du plan ABC et de la sphère OABC, en supposant successivement :
lo ÔÂ -^ÔB -hÔC =/. ;
2° ÔX' + Ôb' -h ÔC' = /■- ;
30 OA . ÔB . UC := niK
THÉOniE DES ENVELOPPES. •>43
Calculer également léquation de l'enveloppe de la sphère, en supposant à la fois I" et 2".
[Pour cette dernière partie, si Ion pose OX — ,,. Uïî=: h, ÔC ^ c, on a à éliminer a, b, c entre les équations
a.f — by et
Pour faire rapidement l'élimination, élever ce déterminant au carré. J
13. Enveloppe des sphères {!) et des sphères (S) de TExercice projjosé n^' 10 du Chapitre XII.
l'i. Vérifier que le cercle défini par les deux équations
l\.r — R r ianir5
jos9
xcos'5-i- jsin$(i-i- CCS- 5) — :;sin-Ô=r o
admet une enveloppe (y) et trouver cette enveloppe.
Calculer les équations des enveloppes de la sphère (i) et du plan {■!). \érifier que ces enveloppes contiennent toutes deux {y).
15. Si une courbe plane, dont le plan (P) est variable, admet une enveloppe, démontrer que chaque point de contact se trouve sur la caractéristique du plan (P).
16. Etant donnée une surface S dépendant de deux paramètres 11 et r, on considère l'enveloppe E^, des surfaces pour lesquelles le second paramètre a une valeur donnée v. Montrer que l'enveloppe des enveloppes E^,, quand c varie, n'est autre que l'enveloppe des surfaces S quand // et c varient indépendamment.
[On peut le démontrer analytiquement ou bien géométri(|uement par la considération des quatre surfaces S„.,, S„^,,„,,, S„,,^,,.,, S„^,,„,,^,,,.]
17. Déterminer ni àe manière (|ue la droite définie par les équations
i-y ~ /HZ — o( — 2 = o, imL^x — -ily ~ m = o
ail une en\eloppe, quand i varie. Trouver celte enveloppe.
'il CHAPITRE XIX. — THÉOniE DES ENVELOPPES.
18. Trouver les équations de la courbe la plus générale, dont les tangentes s'appuient sur un cercle donné. {Cf. Exercice résolu n° h.)
19. Même question pour les courbes dont les tangentes font un angle constant avec Oz.
