Soit la droite
où A, B, C sont trois fonctions d'un certain paramètre /. Démontrer que les points d'inllexion de l'enveloppe de cette droite sont donnés par l'équation
ABC
Etendre ceci à l'arête de rebroussement de l'enveloppe du plan A .r 4- B 1- + C :; + D m o.
21. On considère une famille de cercles C orthogonaux à une sphère fixe ]!]. Démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour que ces cercles aient une enveloppe E est que leurs axes engendrent une surface développable. Soit D 1 arête de rebroussement de cette surface; montrer que les cercles C sont les cercles caractéristiques d'une famille de sphères orthogonales à i et admettant D pour courbe déférente. Montrer que la courbe E est anallagmatique par rapport à i et que sa corde de contact MM' avec chaque cercle G est la caractéristique du plan de C. {Cf. Exercice n^' 15.)
COORDONNÉES TAXGENTIELLES .
EXERCICES RÉSOLUS
1. On considère la courbe {C),. dé finie par i équation tangentieiir
I" Calculer son équation ponctuelle.
20 Toute droite D„ la coupe en six points. Les tangentes en ces sijc points sont tangentes à une même conique (T). Ouelle est l'envelojq^e des droites D^, pour lesquelles cette conique est un cercle/
3° Trouver les points de rebroussement de la courbe (G).
a" Trouver ses asymptotes.
1" Nous devons éliminer u, c, ir entre les équations (n° 293) V ** / ■ = ^ >.uw.
^■*) ux -{- V y -r W ^ i>.
Tirons w de la dernière el portons dans les deux autres :
3 //--h ( //./•— ,jj--f- 2 U.r(u .1- -t- j) =; u; 3('--l- 2 U y{u .1- + V y) ~ (,.
Ces équations sont homogènes et du second degré en u. .. Éliminons ces variables par le résultant (t. I, u° 23i) :
[9( . + .r^) — ^..rr^jî-. 4 y3( 3 ,.>^ (Ga:—^ ^) = n.
Développons, ordonnons par rapport à y^ et di\isons par 3; il vient, tous calculs faits :
<^) 4j'"'— +v3jr(^2+cj) + 27(^-^-^ 1)-— o.
246 (HAPITUE XX.
Telle est réquation ponctuelle de (G). Elle est du sixième degré, conformément à la formule de IMiicker (') (n" 2Î)6).
■>° Ecri\ons que la droite D|,(//o, ''o, n,)) contient le point de contact de la droite \){ii, c, u), point dont les coordonnées sont données par (•>.) ; nous avons
(5) //(|(3//- + IV'-) -f- 3('ol'- H- 'HVqIIW ■=: o.
Les tangentes aux points de rencontre de (C) avec D„ sont déterminées par le système (i), (5) en //, c, w, système qui admet six solutions, conformément au degré trouvé plus haut pour la courbe. Ces six tangentes, satisfaisant à l'équation (5), qui est du second degré en M, c, (r, sont tangentes à une même conique (F), dont (5) est l'équation tangentielle.
Voyons si celte conique peut être un cercle. A cet effet (n° 468), procédons à la décomposition de la forme quadratique (.5) en carrés, en prenant sv pour variable directrice :
(6) — ("o"' + "^'o" )" + ^ l'oii' + 3('ot'- — — - l/'- = o. "o "o
Egalons les coefficients de i/- et de r- dans la forme quadratique restante :
(7) 3 //„(//„— rj — (»'^ =o.
Si l'on regarde, dans cette équation, Uq, Vq (Tq comme les coordonnées tangenlielles courantes, on a l'équation tangentielle de la courbe que doit envelopper Dq pour que (T) soit un cercle.
Cette équation représente une conique, qu'il est facile d'identifier. Les tangentes en ses points à l'infini sont définies par [y) et par l'équation dérivée par rapport à (T',,, soit \\\^z=z o. Ceci donne //f,= (), (V'y=(i, soit 0.r et //qI^ i',,, <ï'o= <>, soit la seconde bissectrice. Noire conique est donc une hyperbole, dont nous avons les asymptotes. Il serait facile de trouver une tangente particulière quelconque et son point de contact.
Si réquation (-) est vérifiée, l'équation (ô) devient
(8 ) (»^o" + "o»^)'+ 3//oCo(//-+ r- ) zzz o.
Elle représente un cercle, tie centre ( — -■> o | et de rayon i/ ^•
(') Il n'y a pas de tangente double, car les trois dérivées partielles, numérateurs de {:•.), ne peuvent s'annuler simultanément que pour a = v = (v = o.
COORDONNÉES TANGENTIELLËS. 24?
I{n tenant com[)te de (7). on trouve aisément que l'équation ponctuelle de ce cercle est de la forme
(g) j?--:-y- — 'iax — 3 = 0.
Il entendre donc un faisceau, d'axe radical Or.
3*» Cherchons les points M{a-. y) d'où Ion peut mener à la courbe trois tangentes confondues (n" 300).
L'équation
(in) ■ i/i-f- i'^ ^ (i(^ux -i- vyy- = <^
doit avoir une racine triple en — • Autrement dit, son premier membre
doit être un cube parfait, soit
,.3__ 1/3 __ 1/ (^f/ jp ^ (• )-j- :^ (i- — '/.Il y^.
En identifiant, on trouve
y- =r 3 /.. > .ry =: 3 À- , i -1- .x- = V'.
Des deux premières de ces équations, on lire
rr s}.\T/.
r = c\/6/., j-z= — (2 = zni).
Portant dans la troisième, il vient '/.'=: ^ ou /. = y/4. Finalement, nous avons deux points de rebroussement R et H', de coordonnées (t \/3, a y3 . s/'i). La tangente en chacun d'eux est donnée par c z^ — '/.i/, i%'=^— ( ua- -i- ry). On trouve, sans peine, que son équation est
"i" D'après les formules {■>. 1, les asymptotes sont données par wtr ^ o.
I. 1/ := (). — En portant dans (1). on trouve r = o. Cela nous donne la droite de l'infini. Le point de contact a pour coordonnées homogènes (1,0, o), toujours d'après ( ■>. ). C'est le point à l'infini sur Or. Nous avons donc une branche parabolique dans la direction Ox.
II. nz=(). — En portant dans (i), on trouve, en ne s'occupant que du réel, 1'=^— (I. (^eci nous donne comme asymptote la première bissectrice.
■248 CHAPITAK X\.
2. On donne la surface (S), d'équation tangenlielle (i) uvw ^ r{u^^ «'-+ tv-) = <).
i" Montre/' </uelle admet pour a.res de symétrie les axes de coordonnées et pour plans de svtnétrie les plans bissecteurs des plans de coordonnées.
1° Chercher les sections de la surface par les plans de coordonnées et montrer que chacun de ceux-ci coupe la surface à 45*.
3° Section de la surface par le plan
1° Si, dans l'équation (3) // J^' -i- (; V -T- «T*^ H- /■ = o,
on change r en — y et ; en — c, cela équivaut à changer c en — c et u' en — w ou bien, si Ton veut, u en — u et /• en — r. Or, aucun de ces changements n'inilue sur l'équation (i). U s'ensuit que les })lans tangents de la surface (S) sont deux à deux symétriques par rapport à Or. Celte droite est donc un axe de symétrie pour ladite surface. Un raisonnement analogue montrerait qu'il en est de même pour Oy et Oz.
Pour vérifier la symétrie par rapport au premier bissecteur des plans zOx et zOy. il suffit de remarquer que le chanizemènt de x en y et de y en .^•, dans l'équation (3), équivaut à l'échange de // et de v et que cet échange laisse invariante l'équation ( i ). Pour le second bissecteur, on changera, de même, u en — c et v en — //.
Pour les bissecteurs des autres dièdres, vérifications analogues.
2° Coupons par le plan des xy. Les plans tangents aux points de la section sont caractérisés par l'équation
obtenue en dérivant (i) par rapport à u' ( n° 307).
Si nous éliminons maintenant tr entre ( i) et (4 ), nous obtenons ré(| nation tangenlielle de la section :
On j)Ourrait, à présent, passer à l'équation ponctuelle. Mais, il est préférable d'interpréter géométriquement l'équation (5). Si on la divise
C0ORD0NXEi:S TAXGENTIELLES.
par ^n^i>-, elle s'écrit
Or, et sont les serments interceptés sur les axes Or et Or,
à partir de l'origine, par la droite («, r, /) du plan des j:y. Dés lors, l'équation (6) exprime que le segment intercepté par ( )^ et Oy sur
celte droite a une longueur constante égale à -• <Jn en conclut ( n° (îOO)
que l'enveloppe de ladite droite, c'est-à-dire la section cherchée, est une hypocycloïde à quatre rebroussements.
Prouvons maintenant que les plans tangents à (S) le long de cette section font jo" avec f^O y, c'est-à-dire que l'on a
\/«--h- i'--F tr- \^'.
■ Or, celte équation résulte de l'élimination de /• entre (n et (4). f.a propriété est donc démontrée.
Les sections par yOz et zO./: donneraient lieu à des considérations analogues.
3° Les plans tangents qui ont leur point de contact dans le ])lan ( ■». ) satisfont à l'équation
( fiv + ■> iir ) — ( ^vu -^ 2 ('/•) + ( «(• + ■>. wr ) H {i(-^- i'--^ iv- ) := <>
ou
(7) {il H- r H- tv)--h 4/'(« + t^ + t»') — II.
Cette équation se décompose en deux :
(,8) // -r (' + w in: o,
( 9 ) M -h (^ + ir + 4 '■ — <J.
La première est l'équation tangentielle du point à l'infini dans la direction (i, 1, 1), qui est la direction perpendiculuire à notre plan
sécant. La seconde est ré(juation tangentielle du point A (y, y, - )•
\4 4 4/ Il suit de là cjue la section cherchée se décompose en deux courbes de troisième classe (y) et ('/'), qui sont les courbes de contact de (S) avec
•j>5o cHAPnni-: xx.
le cylindre circouscrk dont les génératrices sont perpendiculaires au plan
sécant et avec le cône circonscrit de sommet A.
3. Montrer que le degré d'une surface développable est égal à la classe de son arête de rehroussenienl.
Soient la courbe (G) et la développable (A) engendrée par ses tangentes. Le degré de (A) est égal au nombre de points de rencontre de cette surface avec une droite quelconque D de l'espace. Or, par chacun de ces points passe une génératrice de (A), c'est-à-dire une tangente T à (G). On en déduit un plan tangent à (C) passant par D, à savoir le j)lan (D. T).
Kéciproquemenl, si Ton considère un tel i)lan tangent, la tangente à (G) en son point de contact s'appuie sur D, en un point qui appartient à l'intersection de D avec (A).
On conclut de là que le nombre des points de rencontre de D avec (A ) égale le nombre des plans tangents à (C ) menés par D; c'est-à-dire que le degré de (A) égale la classe de ( C i.
EXERCICES PROPOSES
1 . Calculer les équations ponctuelles des courbes définies par les équations tangentielles
( n ('-(// + tr) — w'-^-z o,
( 3 ■) li^ -t- f ( tn- -r- W- I =r o.
Vérifier, sur les résultats obtenus, la formule de l^liïcUer ( n° 2îH)). •2. Soit la courbe (G), définie par l'équation tan-enlielle
/r'+ r'-+- u-^^ir (j.
Ivésoudre, pour elle, les questions de l'Exercice résolu n° 1. :}. Soit la courbe (G), définie par Téquation tangentielle (i) (>/-+ (--)//(■ -i- iv-{u-— c- ) = o.
1" Montrer qu'elle se superpose à elle-même, quand on la fait tourner d'un. angle droit autour de l'origine.
2° Montrer qu'elle est circonscrite à une infinité de carrés, qui ont
COOKDOXXÉES TANGENTIELLES. 25 I
pour centre Torigine et dont on cherchera le lieu de> sommets. Le^ quatre points de contact avec chaque carré ij) sont les sommets d'un autre carré i y i. qui se déduit de (F) par une rotation d'un certain
angle 0 — ^, suivie dune homothélie de rapport /.. Calculer tane S et /.
en fonction du côté la de (Ti. Étudier les variations de ces deux quantités, quand a croît de o à ^ ce.
3" Montrer que chaque cercle de centre O coupe (G) en 20 points, dont 4 sont les points cycliques comptés deux fois. Les 16 autres sont les sommets de quatre carrés, dont on discutera la réalité.
4° Trouver les points de rebroussement de (C ), ses points de rencontre avec les axes, ses asymptotes. Construire la courbe, d'après ces renseignements et ceux des parties précédentes.
[Pour 1°. changer u en — c et c en t/.
Pour 2°, on a
( ■'. ) a-iii-—i-
Puis,
y Y ux -h vy \v
En remplaçant r et y par leurs valeurs en fonction de a, c, .r et tenant compte de ( •>. 1, on trouve
tang5 = -iZl4i!!.
Pour 3°. éliminer (v^. L'équation est divisible par u^ ^ v'- ; puis, devient homogène en ,r-—i\ ,n\On obtient une équation du quatrième
degré en ■ ■, ^ et t on est ramené aux formules i ■> 1.
Pour la recherche des points de rebroussement. on prendra pour inconnues les coordonnées .r, y d'un de ces points et le coefficient angulaire m de la tangente correspondante. En appliquant la méthode du n» 300 et éliminant .r, y entre les trois équations obtenues, on arrive
à une équation r.-ciproque en ni\ Si l'on pose 0 = m'' -^ —, on trouve
mune équation du troisième degré en 5, admettant la racine 9 = 2, à laquelle correspondent les points à l'infini sur les bissectrices. 11 reste ensuite deux racines, qui donnent huit points de rebroussement, sommets
■>)2 CHAPITRE XX. — COORDONNEKS ÏAXGENTIEI.LES.
de deux carrés, dont un seul est réel et n'est autre que le carré (y) de 2°, de côté minimum.]
4-, Trouver les équations ponctuelles des surfaces définies par les équations tangentielles
//eu- H- r^ ziz. 0.
o. Soit la surface définie par l'équation tangentielle
// ( u"' — (•■- — ir- ) — /Td' zzz o.
1° Trouver et construire les sections de cette surface par les plans xO y et xi)z. Montrer que, le long de chacune d'elles, la surface fait 45** avec le plan sécant. Montrer également que la développnble circonscrite à la surface le long de la section par ^O^, par exemple, coupe yO z suivant une courbe égale à cette section et jrO y suivant une hypocycloïde à quatre rebroussements.
2° Montrer que chacun des plans .c = ±: 2 coupe la surface suivant deux courbes de troisième classe, dont on cherchera les équations tangentielles et ponctuelles et que l'on construira. Chacune de ces courbes est la courbe de contact de la surface avec un cylindre circonscrit. ^
G. De la théorie des divisions homogiaphiques, déduire corrélativement celles des faisceaux homographiques ile droites et de plans.
7. ^ érifier que l'Exercice proposé n° :i8 du Chapitre IX est corrélatif de l'Exercice résolu n° 3 du même Chapitre.
8. Enoncer et démontrer les propriétés corrélatives des propriétés qui font l'objet des Exercices proposés n°* 36, Wl et i3 du Chapitre IX.
9. Etablir les formules du changement de coordonnées en coordonnées tangentielles.
[a'r=rt« -\- hv -\-cw, \-' =: a' ii -^ h' v + c' w,
w' -= a" u + h" V + c" ^\\ /'— «a?o+ f )'n+ tv^o-t- /■ |.
COURDUUE DES COIT.BES PLANES.
EXERCICES RESOLUS
1. Soit une courbe quelconque (G). Sur la tangente en M, on porte une longueur constante JMPr^:/. Démontrer que la normale au lieu du point P passe par le centre de courbure de (C).
Soient .r, r les coordonnées de M et a Fangle polaire de la demitangente positive. Les coordonnées du point P sont
(i) x' ^ X -h- l cosa. j'=y + /sina.
L'équation de la normale, en P, au lieu de ce point est
(X — x') <i.r'-h (\ —y') dy' ^^ o.
Pour que cette normale passe par le centre de courbure Mi. il faut et il suffit qu'on ait
( 2 ) ( X, — x ) dx' + ( J'i — j' ) dy'— o.
Or, on a (n° 311)
.r, — j?'=r — Pv sina — l coix. Vj — j'= R cosa — /sina;
dx . dy'
^= Rcosa — /sina, — r— 3= R sina -t- /cosa.
dy. dy.
"En portant dans (2), on obtient visiblement une identité.
2. On donne la courbe (C) définie par les équations paramétriques
(i) X =1 1 — sli/cli/, r=2ch/.
1° Calculer le rayon de cou/bure en M. Montrer que si M,, N e/ T désignent respecticement le centre de courbure, le point de rencontre de la normale avec Ox et le point de rencontre de la tangente avec le
•2j4 chapitre x\i.
nu'me axc^ on (t
(2) MT =:MiVli.Mrv[.
•2" i'alcuicr It's équations paraniéLriqucs de la déseloppéc et des dévrloppanlcs.
I" ( >n a / o ^ dx , „ dy ,
^ ^ dt ' dt '
-— - = 4 ih-t en- 1\ dt-
d'où, en orientant la courbe dans le sens où | ^ | croît,
(4) -— 3z: 2 sh ^ cl) /.
dt
< hi a ensuite
, , dx , . dy ^
(o ) cosa ■=^ —r- =: — th /, sin a = -;- r;; — ; —
ds ds cli/.
Différenlions la première formule, en tenant comj3te de la seconde :
da. dt
c\it cil-/' ou
^ ' dt cl)/
En combinant avec (4), nous avons enfin
(7) R = li = 2 %htc\\-t.
doL
Calculons MJN ^ u. L'ordonnée du point N est
j' + M sin I ;< H — '-\ z=i y -^- a cosa = 2 cliZ — « lli t. Comme elle doit être nulle, on a
Calculons MT = p. L'ordonnée du point T est
Y -H (■ sin a = 2 cil / 4- — ; — ■^ chZ
