COIRBLRE DES COURBES PLANES. ■?) J

En l'annulant, on trouve ^^9) (• = — 2 ch-t.

Nous avons à vérifier la formule

(lO) v'-=l\(,.

Cela est évident, si Ton se sert de {-), (8), (9).

On peut déduire, de la formule (2), une construction élégante du centre de courbure : On prend le svmétrique. par rapport à M, du point de rencontre de MN avec la parallèle à O v menée par T,

2" Les coordonnées du centre de courbure sont, d'après (5) et {-),

jTj = .r — 2shfch/ =/ — o èh t ch / .

fj = y — 2 sh-^ cil t = :>. cli^(i — s!r-^) =^ 4 cli^ — 2 ch^^.

Telles sont les équations paramétriques de la développée. Pour avoir les développantes, intégrons (4) :

Dès lors, les équations d'une développante quelconque sont X = j; ^ {l-^ sli'l Aht z= l —{l~i)lhl,

^ ^ch^ cil/

Pour l^i, on a Y = cliX; donc, parmi les développantes, se trouve une chaînette (n° 609 j; autrement dit. la courbe proposée est une dfheloppée de chaîne lie.

3. Calculer le rayon de courbure et la développée de la sinusoïde. Soit (1) ' y ^z i'inx.

Lapplication de la formule (i 3 j du n° 313 donne

( r -f- cos-jr)^