IR
^ si II v I
Lorsque x croit de o à — > \\ décroit de x à i
■J.3(\ CHAPITRE X\l.
Pour trouver la développée, parlons de l'équation de la normale
X — .V -\- {^ — J-) COS.r =: (»
(3) X -f- Y COS./' r^ j,' -f- sin^ cos./\
Dérivons par rapport à .r :
( 4) -- V sin.r ^^ I + cos^ j:^' — sin-./' = 2 cos-./'.
De (4), nous lirons V; poitanl dans (3), nous avons X. Finalement, les équations paramétriques de notre développée sont
( I -i- cos-.r ) cns.r , ■>, cos'.r
sina* sin^-
Sa construction a été proposée à lEvercice n'^ 1 du Chapitre XVI.
k. On considère la cissoïde (n'* 570) déjinic par les équations paramétriques
Calculer féqualio/i du cercle osculateur au pninL M, de paramètre B. En déduire les coordonnées du centre de courbure et l'équalion de la développée.
CoupoDs par un cercle quelconque
( ■>. ) X- + y- — 'iC/.X — 2 ^r H- y rrr ().
L'équalion auv t des points d'intersection est, tous calculs faits,
Ecrivons qu'elle a une racine triple égale à 5 et une racine simple égale à 9'. Pour cela, nous identifions l'équalion ( 4 ) avec la suivante :
Cela nous donne
Un en lire 'i := — -; puis
COLUBLKI- I)i:.S COLRBES l'LANES. 217
Portant clans (2), nous avon.s Tequation du cercle osculateur en M :
^'' ■' ~^'- -^ ^ 5- )•— Tr=o.
Huant au centre de courbure, ses coordonnées a et 3 ^ont données par (6). Si. entre elles, on élimine 9, on obtient l'équation de la développée :
La développée est donc une courbe du quatrième degré, que nous laissons au lecteur le soin de construire.
o. Calculer le rayon de courbure du foliuni de Descartes en son point double. Trouver l'intersection de la courbe avec les cercles de courbure en ce point.
Le folium de Descaries a pour équation (Cliap. XVI, Exercice proposé n" G)
JC"--^ y'* — xy = o.
Deux branches passent à l'origine, tangentiellemenl aux axes de coordonnées. Elles sont d'ailleurs symétriques par rapport à la première bissectrice. Nous pouvons donc n'étudier, par exemple, que la branche tangente à O.r.
Première méthode. — Appliquons la formule (3) du n^' 313. Eu remarquant que y' = >>, on a K = ^. Calculons v". A cet elFet, dérivons (1) deux fuis par rapport à x :
(2) Sx^^3y^-y'-y-xy'=o,
{'•^) 6i -^ Gj,-)'-^ 3 v^ j" 2 j' a:y"= o.
Il nous faut la limite de j' quand M(x. j) tend vers O sur la branche tangente à Ojc. Remarquons que ^ et 7' tendent vers zéro. Dès lors, si I on divise (3) par ./ et ([u'oii passe à la limite, on a
(-1) 6 — 2lim — z= y"
IIaag. — Exercices. II.
■2J8 CHAI'ITHI-: X\l
Cherchons la limite de — • De (0, on lire
d'oi
lim '— — r 2.
Portant dans (1), nous avons y^ = 2, Il z:= -•
La courbe est concave vers les y positifs; donc, le centre de courbure a pour coordonnée - et le cercle de courbure a pour équation
En tenant compte de (5), (i) s'écrit .r= y, en supprimant le facteur y- ;
d'où a, = r= -• Le cercle de courbure coupe donc la courbe en
cinq points confondus en O et au sommet S( -> - j-
On peut remarquer que, parmi les cinq points confondus en O, un seul appartient à la branche verticale; donc, les quatre autres appartiennent à la branche horizontale; celle-ci a donc un contact du troisième ordre avec son cercle de courbure.
Le cercle de courbure de la branche verticale se déduit du précédent par svmétrie. Il coujie aussi le folium au sommet.
Deuxième méthode. - Coupons la courbe par un cercle quelconcjue langent en O à Ox, soil
Nous allons écrire qu'il y a plus de trois points d'intersection confondus avec O. En tenant compte de (6), on tire de (1), après suppression du facteur y :
i'ortant dans (6), il vient, en supprimant encore le facteur j)-,
Si R est quelconcpie, on a trois racines non nulles en y. Pour avoir le cercle osculaleur, il faul que l'équation (8) n'ait pas de terme constant.
COLHBLRE I)K> COURBES PLAXES.
Cela donne !>:=-• On retrouve ré([ualion (o). En outre, avec cette
hypothèse, 1 équation {S) se réduit à y — I-l = <i, après suppression du facteur -iv-. On a donc un seul point d'intersection autre que O. Son
ordonnée est - et la formule t-; montre que son abscisse a la même
valeur. (Jn retrouve bien les résultats obtenus par la [)remière méthode.
G. rtavon de courbure et dt-Kcloppéi- di- la courbe en-ilnppe de la droite
Il X cos'j -i- y sin o — sin ni'^ = d.
Appliquons la formule du n° 3:20. .Nous avons I '. ) K = sin /?« 9(//i- — i) z= p{m'- — i).
Donc, si P est la projection de () sur la tangente MT et si C est le centre de courbure, on a
MC
lOJ
PO
La développée est l'enveloppe de la droite (n'^ 320) ( ^ ) — ./■ sin'^ '^ J' coso — m cosni-j ^= <>
Si l'on pose o
■■> cette équation devient
./coso -i-ysinçi — /«sin
Celte droite enveloppe une courbe qui se déduit (' ) de l'enveloppe de la droite (li par une Jiomothétie dans le rapport m et une rotation de
langle ( i ) — • La développée de la courbe proposée est donc semblable à cette courbe. Il en est évidemment de même de toutes les développées successives.
