K7=2MU

0 est le milieu de MG'. De plus, (5) donne R:^2&^. Pour ni ziz , l'équation (i) s'écrit

(9) 0" sin 2 0) = — i .

f') On relrouverait cette formule en appliquant les formules (r) ou {:>.) de rexcicicc précédent. Mais, le signe ne serait pas précisé.

■>(r>. CHAPITRF. XXî.

L'équation cartésienne correspondante est

La courbe est une liyperbolc équilatère. d'asymptotes O.r et Oi'. Dans ce cas, la formule (6) donne

(il) i\K7=— MO;

(>' est symétrique de O par rapport à M. De plus, (5) donne

1. Soit une courbe quelconque (G). Soient M un de ses points. Mj le centre de courbure correspondant et P un point de la tangente en INI, décrivant une développante (f) de (C). On considère le point Q, qui divise le segment PMi dans un rapport constant — À. Démontrer que la tangente en Q au lieu (S) de ce point est parallèle à MM,. Calculer le rayon de courbure de ce lieu. Démontrer que les courbes (S), qui correspondent aux différentes développantes (F), sont des courbes parallèles.

2. Soient deux courbes quelconques (C) et (C). A chaque point Al de lime, on associe un point M' de l'autre, de telle manière que les tangentes en Al et AI' soient parallèles. Puis, on prend le point AI", qui (I ivise AlAI' dans le rapport constan t — À. Ce point décrit une courbe (C"), dont la tangente en Al" est parallèle aux tangentes en M à (C) et en Al' à (C). Calculer le rayon de courbure de (C") en Al", en fonction des rayons de courbure de (C) en Al et de (C) en Al'. Démontrer que le centre de courbure M'j de (C") divise dans le rapport — À le segn)ent AI, M \ , si l'on appelle M, et M', les centres de courbure de (C) et de (C). {Cf. Exercice précédent.)

3. Soit la courbe (C) définie par les équations paramétriques

X Tzz sin / cil / ^- cos^ sli /, y =r sin / sli / -- cos^ cli /.

Calculer son rayon de courbure et déterminer ses développées successives. Montrer que ces développées se reproduisent périodiquement et qu'elles sont deu\ à deux symétriques par rapport à l'origine. Trouver l'équation polaire de la courbe décrite par le milieu du rayon de courbure de (C).