Soit la courbe {cardioïdv

I — l- it

Trouver l'équation du cercle osculateur au point de paramètre ^. En déduire les coordonnées du centre de courbure et le rayon de courbure. Comparer les résultats obtenus avec ceux de l'Exercice résolu n° 8, en prenant l'équation polaire de la courbe proposée.

[C/. Exercice résolu n° h. Au lieu d'introduire la quatrième racine 9', on peut aussi écrire que 9 est racine triple, en annulant les dérivées première et seconde.

La projection du centre de courbure sur OM doit être au tiers de OM, à partir de O.]

8. Soient deux fonctions rationnelles 6 =:f{t) et p =z g{l ). On considère la courbe C enveloppe de la droite

I — B- iB ( — 5- //

Montrer que c'est la courbe la plus générale dont les coordonnées et l'arc puissent s'exprimer rationnellement en fonction d'un même paramètre t.

Poser B ■=. tani; - et passer par l'intermédiaire du rayon de courbure.

Il est facile de vérifier que la courbe C satisfait aux conditions imposées. Pour la réciproque, montrer d'abord que les cosinus directeurs de la tangente sont rationnels en t. Puis, introduire une développante et montrer que l'équation de sa tangente peut se mettre rationnellement

>G4 CHAPITRE XXI. COURBlinn: DES COURBES IM.ANEP.

SOUS la forme canonique. Eu dérivant celle équation par rapport à

i'angle polaire, on oblient l'équalion de la tangente à C, qui se met

ensuite sous la forme de l'énoncé, par le changement de variable indiqué

ci-dessus. Pour montrer que b est rationnel, il suffit de remarquer

^ I — costp

que & rz: ■ 1.

sin Ç5

9. Soient une courbe quelconque (C) et M un de ses points. On appelle p la distance OM et p la distance algébrique du point O à la tangente en M. Démontrer que le rayon de courbure en M, compté

positivement dans le même sens que/), est égal à — ■ — ^•

[Partir de la tangente sous la forme normale et remarquer que

r^- Calculer les équations

JO. Dans l'Exercice n" 8, on prend p - -

paramétriques de la courbe (G) correspondante, son arc, son rayon de courbure, les coordonnées de son centre de courbure. Cas de ni r= 3. (Pour m -' 3, cf. Exercice n° i. )

1 1. Soit la courbe I G ), d'équation polaire p i:= ili — •

Calculer son rayon de courbure en M(p, oj), ainsi que les coordonnées de son centre de courbure par rapport aux axes MX et AIY, d'angles

po'aires respectifs oj et w h :

12. Calculer le rayon de courbure de la lemniscate o :=: \'co5'. co {cf. Exercice résolu n° 8) et de la cardioïde p = i-f-cosw {cf. Exercice proposé n° 7).