Soit la courbe (C ). définie par les éqnaliona

Calculer les neuf cosinus du Irièdre de Frenet, la courbure, la torsion, les coordonnées du centre de courbure, les équations de Va.vc de courbure., du cercle osculateur et de la sphère osculatrice. Déterminer les développées de ( C ).

On a

ds^=dz^[Z.^,^^^l = ^jl^d.^,

d'où, en orientant la courbe dans le sens des z croissants, (2) ds — —'^^dz.

Les cosinus directeurs de la demi-tangente positive sont alors

r. , , .... . . . da db de

(.eux (Je la normale principale sont proportionnels a -r- ? -r- > -7-

' ' dz dz az

ils sont de la forme

rt'r=/. 2--, Z>'=/.(2 — z''), c'='/.i — •>;*).

lôlevanl au carré et ajoutant, il vient

afiC) CHAPITRE XXII.

Nous en lirons, par exemple, I. = — — —^ et nous avons

Lps cosinus directeurs de la binormale sont enfin obtenus par les formules

a' — bc' — cb', b" =r ca' — ac' , c" = ab' ^ ba\

qui nous donnent, tous calculs faits,

de c' Calculons maintenant la courbure par la formule -— i= — ■ Nous avons

^ as R

(•'. -H z'*)- ■>. + z'* " ■>. H- z'^ R' d'où

R {i-hz'^f

Pour la torsion, prenons la torinule — ;— = 7p ? en observant que ' as V

«"= — c et a' rzi — c' . Nous voyons, sans aucun calcul, que ?p ^= ït*

Donc,

Les coordonnées du centre de courl)ure sont

,r, n=jr + Rrt', y, z:=r4-R//, ^| = ;-i-Rc'

ou, tous calculs faits,

Les é<| nations de l'axe de courjnire sont