So

CIIAI'ITIUÎ WIII.

dx dy X dy -\- v dx I y X — I I = o,

dy dx o I

oii, en développant suivant la dernière colonne,

y- dx^ — .r* dy- -f- dx- — ■ dy- = o ou, enfin,

dx dy

Nous pouvons nous borner à prendre le signe 4- au second membre, quitte à changer y en — >, pour déduire la seconde famille de la première. En intégrant, nous obtenons

log(.r -+- v'i -t- ^i'-) ~ log(.>' -r- v/i +.'■'') -1- '"^gC (<^' = consl.)

( 3 ) o? -f- y/ 1 -+- .r- = C ( j H- y/' I -T- y-). En chassant les radicaux, on trouve

(4) -tC(.r - Cj) (,)• - C.r) + (i - C^)^ rr: o.

Lea lignes de courbure se projetlent donc sur lO y suivant des hyperboles.

Si l'on lient compte de (i), l'équation (4) s'écrit aussi

Donc, nos lignes de courbure sont sur des paraboloïdes de révolulian d'axe Oz. {Cf. Exercice proposé n° J7 du Ghap. X\\I\ . )

EXERCICES PROPOSÉS

1. On donne une surface (S), tangente en O à .rO y et admettant pour tangentes principales en ce point Ox et O > , les rayons de courbure principaux correspondants étant Rj et Rp Calculer les coordonnées du i-entie de courbure, relatif au point O, de la section par le plan (II),