COURBURE DES LKJXES TRACEES SLR UNE SURFACE
oSl
d'équation
Lieu de ce point, quand le plan (II) pivole autour d'une droite fixe. ISlènrie question, quand le plan (H) varie en faisant un angle constant avec O::.
Cas où le point < ) est soit un ombilic, soit un point paraboli(|ue.
[Le preniier lieu est une quartique gauche unicursale, située sur un cône de sommet O et de bases circulaires dans les plans parallèles à jOf. Le second lieu est une biquadratique unicursale, située sur un cône de révolution et un paraboloïde, d'axe commun <>-.]
2. 0.1 considère la courbe (courbe de Viviani) définie par linterseclion d'une sphère et d'un cylindre de révolution tangent à celte sphère ot passant par son centre. Conslruiie le centre de courbure de celte courbe en un quelconque de ses points, et, en particulier, en chacun de ses deux sommets. Déterminer les tangentes au point double, au moven des indicatrices.
{Cf. Exercice résolu n*^ I.)
3. Vérifier, au moyen du théorème de Meusnier, que les i avons tie
courbure d une ellipse sont — aux sommets du grand axe et -r- aux
sommets du petit axe.
(On considère l'ellipse comme projection d'un cercle, pour le petit axe, et comme se projetant suivant un cercle, pour le grand axe. Cf. Exercice résolu n° 2. Cf. n" 332.)
k. On reprend la surface (S) du n" 1. Trouver l'équation de la surface (i) engendrée par les cercles de Meusnier relatifs aux difTérenles tangentes en O. Calculer les rayons de courbure principaux de (i) au
point ( o, — ) — )• Cas où R,= ••. IV,.
Pour la deuxième question, transpoi ter l'origine au jioinl de O :■, qui
a pour cote — -■ Puis, couper par le nouveau plan des :.i\ Prendre les
tangentes au point double et utiliser le théorème I du m'' 3V2. P»emarquer. enfin, que l'on connaît un des ravons de courl)urc cherchés, à savoir
celui de la section par rOz.
o. Déterminer l'indicatrice et les rayons de courbure ])rincipaux de la
surface
en son point de rencontre avec (.);.
G. Appliquer l'E\.ercice résolu n" 4 à la section de la surface
par le plan des .r/.
