Soit la surface

(A = const.).

Étudier les variations de la courbure à l'origine de la section par le plan y=zin.r, quand ni varie. On examinera, en particulier, les cas suivants :

(lî^vtrait de la composition écrite du Concours cVadniission à l'Ecole i\oi-niale supérieure, en 1908.) (('/. Evercice résolu n° 5.)

8. Calculer les rayons de courbure principaux de la surface — de l'Evercice proposé n° 10 du Chapitre XIX, au point (« = o, crzro)

i>. Trouver les lignes as\ mplotiques de la surface

10. Trouver les lignes asymploliques et les lignes de courbure delà surface

^ := ces w -i- cos r, )■ =: sin ?< +- sin c, z^nu + v.

1 - 1- 11 , . « + r ( )n prendra comme paramètres directeurs de la normale : sin >

— cos ) C05 • 1 our les lignes de courbure, on intégrera par le

cliangemenl de variables : ;/ — r r ■',;/', u + r = •;>,(''= ^z.

11. Pour qu'une ligne C tracée sur une surface S soit ligne de cour-

coiRiiuni: DES lignes tkacée.-? sur une SLREACE. -283

bure, il faut et il suflit que ciiaque sphère oscnlatrice à C et tangente à S admette comme cercle limite ( n° 281) un cercle de rayon nul. (Le plan du cercle limite est perpendiculaire à la tangente à la déférente.)

12. Démontrer que tous les points dune surface dévelop|jable sont des points paraboliques et réciproquement.

[Pour la réciproque, remarquer que les lignes asymptotiques sont en même temps lignes de courbure. Donc, leurs binormales ont une enveloppe. D'après la formule (19) du n" 329, ceci n'est possible que si ces lignes sont planes, (^omme leur plan doit être tangent à la surface le long de chacune d'elles, la surface est une enveloppe de plans. Cf. \m, nolflf).]

CHÀPITKE \X1V.

PROIJLEMKS DK (JEOMLTUIK OUI CONDIISKNT A DF.S ÉOUATIONS DU rÉP.KMIF.I.LKS.

EXERCICES RESOLUS

1. Tiajecloires orthogonales des coniques circonscrites à an rectangle (E. P., 1913).

Prenons pour axes de coordonnées les axes du rectangle. Si les côtés ont pour longueur la el2b, l'équation générale des coni(|ues considérées

est (n« 507)

— ^, =1^ — /. = consl.

)■- ■ — fj-

Leur équation dillérentielle est

lin changeant ilx en — dy et dy en dx^ on a l'équation diflérenliclle des trajectoires orthogonales

(.r- — a-)y de -^ (j'"^ h-)x dy :=^ o ou

«-\ . / Ir

— \dx+{y 1 dy ~- o

I^es variables sont séparées; Finlégrale générale est (') a--i- r- — 2(«-log./' + Z>-Iog v) =^ (;.

(') Nous conseillons au lecteur de coiislruire ces rourbcs, ainsi t|ne celles des erciccs sui Jinlégralion.

dy exercices suivants. Il pourra remarquer (|ue la dérivée -j- est déjà calculée a\aii

l'KORI.tMES Di: t.KOMKïrUK (JLI COXDl'ISENT A DES EQIATIO.NS inFEEREXTlELI-ES. 2»:>

•1. Trajectoires orlhogonales des ellipses de grandeur donnée, qui admettent pour axe une droite donnée.

Prenons la droite donnée pour axe des x. Les ellipses proposées se déduisent, par translation suivant Ox, de la suivante :

a- Ij-

Preniière mélhodc. — L'équation dune quelconque de nos ellipses e-l

12) '■ ^ -T- — I = o C/. = const.)--

DiflTérenlions et remplaçons, en même temps, dx par dy et dy par — dx •. nous obtenons

(x — 't.)dy V dx

ij) '. '- -1-^=0.

j^liminanl /. en tre {•! ) et (3), nous oblenotis l'équation diilérenlielle des trajectoires demandées, soit

i 1 ) a"- y''-dx'' — b'- ( >- — b"- ) dy" =z o .

Les variables ;<jnt séjjarées, comme il fallait s'y attendre (n° 3o3j. et une intégration facile nous donne pour équation générale des courbes cherchées

Ô) ZZ-.r=z\b- — V--i lo

( ' ■" )-+-const.

Deuxième méthode. — Les équations paramétriques de l'ellipse (0.) sont (n" 529)

((>) J7 ::^ /. -r- « COS'J, I^^Ôsin'J.

Si l'on applique la méthode du n° 352, on est conduit à l'équation

diflrérentielle

— « sin 'j dx -+- h cos o dy z= o

a si n 'j di = ( a"- sin- o -f- b- cos- 'j ) d':j ,

(-) /.— lia ) èinodo -- — I —.

J \ a) aj siri'j

=r I — rt -J J cos 9 log/ laiig- I -t- const.