I -hconst

Telle est l'équation polaire générale des courbes cherchées. Au lieu d'éliminer 0 entre (i) et (2), on peut éliminer p. On obtient

PROBLÈMES DK GÉOMÉTRIE QUI COXDIISENT A DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. iS-

ainsi, en dill'éren liant logarithmiquemenl (i),

cotang(G) — 5) (/o = (c/5 — dw) tang(',i — 5).

Posons oj — 5 :=: o. Cette équation devient

d'j) = — tan g- o do :

d'où

(4) 'j) =: 'j — tango ^ consl.

D'autre part, (i) nous donne

(5) p^gRcos'y.

Les équations (4) et (5) sont les équations paramétriques polaires de nos trajectoires. On peut constater qu'elles vérifient l'équation (3). Leur construction a été proposée à l'Exercice n° o du Chapitre XVII.

Deuxième méthode. — Les équations cartésiennes paramétriques du cercle (i) sont

(()) J7 =: R(cos9 -f- cos^), v=l!(sin$ — sin^).

Les trajectoires sont définies par l'équation dilïérenlielle

— sin / dx -i- cos t dy =: o ou

(;) dt-^d^coi{t-^ B) = o.

Posons t — 5 ^ i; ; l'équation devient

d'il -- d9 {\ — cos 'i/ ) = o ou

cos- -

D'où (8) 9= — tang— -+- const.

Puis (g) ^ =^ V — lang— -i- const.

Portant dans (6), on aura les équations paraniétri(jues cartésiennes des trajectoires demandées.

288 CIIAI'ITRK WIV.

On relrouve d'ailleurs les équalioiis (4) t'I (•>), si l'on observe que

01 =1 =z lan" - — :- coMfet.. 0 z:^ 2 R cos = 2R cos - •

11 suftil de poser — mi q.

i. Trouver les courbes dont la langeiilc et la normale rencontrent Ox en deux points conjugués harmoniques par rapport à deux points lires A et A'.

Prenons loiigine au milieu de ces deu\ points fixes et posons

ÔÂ = — ÔV — a .

Première méthode. — L'équation de la tangente est

X~x Y— r dx d y

Si nous y fai>ous V r- o, nous obtenons l'abscisse du point de rencontre T avec Ox, soil

r^TT dx

(0 Ul —X — y-j-'

De même, l'équation de la normale

( X — j?) dx ^ ( V — r ) dy = o nous donne

( 2 ) 'ijs=x-h y-^-

dx

La condition d'harmonie des segments AA' et TiN s'écrit, comme on sait,

-^N -^ 7^ rrv f dx\ f dy\ , , /dy dx

.0) a-=Ul^^^^(x-y-Jl^x^J■-)=x-^-y-^XJ[^^--^^

Telle est l'équation dill'érentielle du j)roblènie. Elle se simplifie, en posant

ol devient

. , dy du

1 o ) // — f -i- M -; y— a-zi^o.

du dy

l'ROBI.ÈMES DE GÉOMÉTRIE QLl CONDUISENT A DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 289

Celte équation est linéaire par rapport à a et v et s'intègre par quadratures (cf. Exercice résolu n" 6 du Glmpitre X^ du Tome 1). Résolvons-la par rapport à i :

c / •> *' (Ol K- zm uv — a- -1

en |)Osanl r= -y- • On reconnaît une équation de Clairaut Hoc. cit^, du

dont 1

l'intégrale générale est

(Gr:

=: const

ou. en revenant au\ anciennes variables, ^ G(I-— G).3?- — Il — G ) 1- — «-G=:o.

(^etle équation représente une conique dont les axes sont Ox et Oy

Les carres des demi-lonsneurs de ces derniers sont 7-, et

Us ont pour différence rt-. quelle que soit la constante G. Les courbes cherchées sont donc les coniques de foyers A et A', conformément à des propriétés bien connues (^n°ol6).

Deuxième méthode, — Gherchons la courbe par son équation tangenlielle. Soit

(91 .3; COS9 — y sin o — /^ = o

l'équation de la tangente. L'équation de la normale est (n" 320)

(10) — .r sin o -^ y cosç/ — p'zino.

En coupant ces deux droites par l'axe des x, on trouve

(M) ÔT=-^, TJSzrz—-!^.