COS'J SI
L'équation différentielle du problème est donc (i'.>. ) PP' ^^ — fl-sinocoso.
Elle s'intègre à vue et donne (i3) /?-!-= rt-cos-9 4- G (G^rconsl.i.
Passons aux coordonnées tangentielles ordinaires (n° 292 j. Elles sont Haag. — Exercices, II. 19
ago ciiAPiTiiE x\iv.
liées aux coordonnées normales par
coso sino
Comme l'équation (i3) peut s'écrire sous la forme
p-=^ <7"'cos-© -+- C(cos-Ç) H- sin-o i ,
homogène en p, coscp et sino, elle équivaut à
On reconnaît là l'équation tangenlielle générale des coniques de fovers A et A' (n" 516).
5. Trouver les courbes pour lesquelles il existe une relation linéaire entre la tangente limitée à Oy et la normale limitée à Ox.
Soit la relation donnée
(i) Mn = «.mt4-^^
ou. en introduisant les coordonnées (.r.j) du point M et l'angle polaire a de la demi-tangente positive,
cosoc cosa
y = ax — b cos a .
Difïérentions, en remplaçant dy par dx langa, dx ( tanga — a) z=^b sin a dy. :
d'où, en posant a = tango et a — o := 9 ,
^' %\\My. dy ^coso /'sin ( 2 o h- i 5) c/5
r %\\\y.dy b coso f'
'^ J tanga — a ~ >. J
X = b cos o
sincp coso logtang — h sin(<o -+- 0'
Portant dans ( >. ), on a
y =: b\ sin-o coso logtang [- sino sin (20 4- ^j ) cos(o
l'KOBLÈMEs DK I.KOMKTRIE Ql [ CONDLISENT A DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Ofjl OU
y ^= h cos'j
sin-o Ioi,^tang cos(2o
Les équations i 3 i et ( ', ) constituent les équations paramétriques d'une (les courbes cherchées. Les autres s'en déduiraient par l'addition d'une constante arbitraire G à x et de la constante «G à y. c'est-à-dire par (lue translation arbitraire de coefficient angulaire a. Si le lecteur
veut construire la courbe, il n'oubliera pas qu'il connaît déjà — et ^^
•^ d^j d-j et que l'angle polaire de la tangente est -^—'j. Il pourra remarquer
aussi que le ravon de courbure est ècoso ^^" ' ^ "^ ^^ ' ,
>in5
6. Trouver une courbe pour laquelle la tangente .MT limitée à Oa: soit proportionnelle à la distance OM. Cas où MT = OM.
Soient (0, o) ) les coordonnées polaires de M. On a
Mï
MT
sin(&j -î- V )
Si le rapport
OM
> on a donc
SIU ( 'j)
) -- m sin r.) r= G.
D'autre part.
— ^ = cotansV rtoK
La relation « i > nous donne ^ en fonction de o». Portant dans (-a i. on a o par une quadrature.
Pratiquement, il n'est pas facile de calculer \^ en fonction de O). 1! est. au contraire, plus simple de calculer m en fonction de V :
(•^) tangw = —
Portant dans ( :> i. il vient
logo '— — / cotangN —
sin \
/n — cos \
— ni cos A'
