ni cos \ -- ni

)U, en posant co^V= /,

, /• Z ( 1 -+-/»/ ) . loir 0 := / ; — — — —

J [i — t- ) {i-+- 2/nt -h

ni- )

clt.

loiro := —

■', {lU -^ \)

losC / — I ) -h

loo ( l-[-\)

ni ( I + /??

-;— log( I 4- m- -+- uni ) ,

il -hi

(J — Ij-

Les formules (3) et (4) nous donnent a) et o en fonction de V.

L'intégration qui précède suppose toutefois m'-r^-j. Voyons ce qu'elle devient pour ni-=-i. Prenons, par exemple, ni z=z \ ( ' ). L'équation (3) s'écrit

langw = — tana

d'oi

Portant dans {■:>. ). on a ensuite

logp =z I cotangiot <:/oj =^- log sin ^w -j- consl.

p- sin GJ ces w rr C, ou, en passant en coordonnées cartésiennes,

La courbe est une hyperbole équilatère, admettant les axes pour asymptotes. L'égalité OM = MT résulte alors des propriétés bien connues de la tangente à cette courbe (n" 541).

Dans ce cas particulier, on peut d'ailleurs arriver beaucoup plus rapidement à l'équation (5), en remarquant que la condition imposée peut s'écrire

da:

X dy -\- y civ ^^ d{xy) t:^ o.

{ ' ) Prendre m — ■ la (;(jurl)e.

1 reviendrait à augnieiUer \ de -, ce qui ne changerait pas

l'IlOBLÈMES DE GÉOMÉTRIE QLI CONnCISEXT A DES ÉQUATIONS DIFFILRENTIELLES. ÎÇ)^

7. Tromer deux courbes telles que les tangentes en deux /wints situés en ligne droite avec O se coupent à angle droit sur Ov (K. P.. .9,3).

Soient (û, 'jj) et (/', oj) les coordonnées polaires des deux poinls associés M et M'. Si, dans l'équalion de la tangente donnée au n° 2o9, on fait

cj) z= 0, on obtient la valeur de ■ En égalant cette expression pour

OT

les deux courbes, on exprime que les tangentes MT et M'T se coupent

sur l'axe polaire :

(1) — coso) — ( - 1 sino) =; - cos'jj — I -1 sin r.).

La condition de perpendicularité s'écrit ensuite

Il faut intégrer le système (i), (2).

Il paraît indiqué do faire le changement de variables

Nos équations deviennent ( 4 ) ( // — (') coso) zzz («' — v' ) sin '.),

La première s'intègre à vue :

( G ) u — (' ^^ C sino).

Four ne pas détruire la symétrie, prenons pour inconnue auxiliaire iv =^ u -^ c. Nous avons, en tenant compte de (6),

\ uv = lï'- — G-sin-o), 4«'('' := tv'- — C-cos-o).

Portant dans ( •'')), il vient

«'■quation dont l'intégrale générale est

(7) (ï^zrr G sin(o) 4- cp) (o=:C0nsl.),

■->94 CHAI'irilE XXIV.

mais qui admet, en outre, l'intégrale singulière

(8) sr=zC.

Si l'on combine (6) et (-) par addition et soustraction, on obtient

- =z (j cos— sin oj -I- -

=; — i^ C sin —cos ( 0) -i — ^

c'est-à-dire deux droites rectangulaires et se coupant sur O.r. Cette solution est banale et sans intérêt.

Si Ton combine (6) et (8), on obtient

( q ) /< =z: — :^ — ( I H- Si n Oj ) ,

r -zz - =r — ( I — sin w ) ;

c'est-à-dire (n° 520) deux paraboles de foyer O, d'axe Oy et symétriques l'une de l'autre par raj^port à O.

Solution géométrique. — En s'appuvant sur les propriétés classiques de la parabole, il est facile de vérifier a posteriori ce résultat. Nous en laissons le soin au lecteur. \ous allons montrer plutôt comment on peut obtenir la solution directe par un raisonnement purement géométrique.

Considérons l'angle droit MTM' comme une figure de forme invariable mobile dans le plan. D'après la propriété du centre instantané de rota-

Fig. 34.

tion (Cliap. XXXIX^ Exercice résolu n° 1 ). les normales aux lieux de M, M', T sont concourantes en 1 {fig. 34). Projetons maintenant O en Q sur IMT et appliquons la même propriété à langle droit OQM. La nor-

PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE QUI CONDUISENT A DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. agS

maie en Q au lieu de O doit passer par le point J. Or, les deux rectangles Ml.M'T, M.IOQ sont homothétiques. Donc, QJ est parallèle à Tl et la tangente en Q au lieu de Q est parallèle à Oa;. Ceci ne peut être que si Q est fixe ( solution banale constituée par les deux droites fixes QM et TiVr ) ou bien décrit une droite A parallèle à O^. Dans ce dernier cas, l'enveloppe de QM est une parabole II de foyer O et de tangente au sommet A. Le point O' décrit la droite A' symétrique de A ; donc, Q'M enveloppe la parabole II' symétrique de II.

8. Déterminer une courbe ( C ), sachant que le cercle décrit sur son rayon de courbure comme diamètre est orthogonal à uji cercle fixe.

Soit a le rayon du cercle fixe (1 ), dont nous prenons le centre pour origine. La condition imposée par l'énoncé s'écrit, avec nos notations habituelles.

■i — yy\

ou

( 1 ) X- ^,- y- -h H(-- x's\x\y. ^ y cosa ) :^ «-.

La parenthèse est le premier membre de l'équation de la tangente. Cela nous incite à essayer de traiter le problème en coordonnées tangenlielles normales. Soit

( 3 ) X cos 9 -^ / sin o =i p

ré([ualion de la tangente, où /> est une fonction inconnue de o. Si l'on oriente la normale par l'angle polaire o, on a

d'où

p^ — .^■sina^- i cosa.

Dès lors, ( 2 1 devient (4) X- — y--h R/? =: «".

Or, on sait ( n° 320) que \\~r — (^p ^ p')^ D'autre part, dérivons (3) :

i^-t ] .r sin o H- y coso =r //.

Elevons i 3 i et 5 i au carré et ajoutons

x--yy'-—p''-\-iy'.

■MjC) CHAPITRE XXIV.

L'équalion (4) s'écrit donc

ou

(6) p'' — pp"^a\

On pourrait intégrer cette équation par la méthode générale du n" 19o (t. I). Il est plus rapide de procéder comme il suit. Dérivons-la :

p' p" — pp" =- o ou

p"- p' d'où

(-) p"z=Cp (C=const.).

Premier cas .•C=;o. — Ona (8) /? = .\9 4-B.

Portant dans (6), on trouve A zz: «. En outre, on peut supposer B = o, en négligeant une rotation. Donc, p =^ ao.

En résolvant (3), (5), on aurait les équations paramétriques de la courbe. Mais il est plus simple de remarquer que l'équation ( 5 ), qui est celle de la normale, devieiit

— x %\no -1- y cos cp =: a .

Elle nous montre que la normale enveloppe le cercle (T). Donc, la courbe (C) est une développante du cercle (F), courbe bien connue.

Cette solution particulière est évidente, a posteriori^ l'ortliogonalilé des deux cercles ayant lieu au centre de courbure.

Deuxième cas : C =^ — /«-<(>. — L'intégrale générale de (~) est, à une rotation près,

p =z \ cosmo .

Portant dans (G), on trouve A := — D'où

( <j ) P ^^ — cos m 9 .

La courbe est une épi- ou liypocycloïde.

i'iioi»LEMEs nr: Gi':o.Mi':Titin ori coxdlisknt a des éocvtjdns diikkiœvtieî.i.es. i^j Troisième cas : C i;.r ni-:> o. — L'inlé-rale ^^énérale de (-) esl

Suivant que le |)roduit AB esl > o, < o ou — o. on peut, à une lolalion ou à une symétrie près, se rn mener à l'un des trois types :

( " ' ) p = Xchmo, p j \ sh //i -j, p=z V e'"?.

I^n portant dans (6). on obtient, suivant le cas,

A- m- = ~ a-, A2 ni^ = a- , o = a^.

Le second type convient donc seul au cas où le cercle {T ) est réel. Le premier type convient à un cercle (T) imaginaire pur et le troisième à un cercle (T) de rayon nul. Dans ce dernier cas, le problème posé revient au suivant : Trouver une courbe dont le rayon de courbure esl vu du point O sous un angle droit ou encore dont le centre de courbure soit r extrémité de la sous-normale polaire. On sait que la spirale logarithmique jouit de cette propriété ( n« 613). EIFecli vement, si Ton prend la troisième solution (lo); il est aisé de voir qu'elle conduit à une telle spirale qui est, par suite, la seule courbe jouis^-ant de la propriété énoncée ci-dessus.

Nous laissons au lecteur le soin d'étudier les courbes des deu\ premiers types (lo). Il pourra aussi reprendre complètement la question en coordonnées polaires. Il sera conduit à une équation à variables séparées entre o et V.

î). Trouver les courbes gauches tracées sur un cylindre et dont le plan osculateur en chaque point est normal à ce cylindre ou bien les courbes gauches dont le rapport de la courbure à la torsion est constant (réciproques des propriétés de l'hélice, n° 016).

1» La normale principale est constamment normale au cylindre. Elle est donc perpendiculaire à ses génératrices. D'autre part, elle est parallèle à la tangente à l'indicatrice (n° 323). Celte dernière courbe est donc plane (' ) ; comme elle est sphérique, c'est un cercle. Il s'ensuit que les tangentes à la courbe cherchée font un angle constant \ avec les

('; Si les langenlcs à une courl)e sont perpendiculaires à O.;, on dz = 0. z = const.

•2f)ï^ CIlAl'ITHIC XXIV.

génératrices du cylindre (' ). Ceci s'exprime, en prenant O^ parallèle à ces génératrices, pai'

dz ( 1 > —r^~- cos \ . z - s cos \ .

ds

On a ensuite, en introduisant l'arc o" de la section droite du cylindre,

do- = ds- — dz"- : -: ds^ ( I — cos- V ) =: ds' si n- \' ; ( 2 ) a -= S sin V.

l'ar suite, - i- cotY:;— const. Donc, la courbe cherchée est une hélice

p 'î° Soit — ^^ /. . D'aj^rès les formules de Frenet ( n° 326), on a

dd db" de" W

da db de ï d'où

( 3 ) a" == ka -\- y., b" : - kb H- S , c" = kc — -/ ,

a, |3, y désignant des constantes. Or, si l'on multiplie ces équations respectivement par a, b, c et qu'on les ajoute, on a

o =z k -i- a y. -~ b^ -h cy .

Ceci exprime que la tangente fait un angle constant avec la direction fixe de paramètres directeurs a. ^, y. On est donc ramené à i° et la courbe est encore une hélice.

Renia rq lie. — Si la courbure et la torsion sont constantes, leur rapport l'est aussi. On a donc une hélice. Mais, en outre, daprès la formule (82 i du n"^ 616, la courbure de la section droite est constantf. Cette section est donc un cercle ; on a une hélice circulaire.

1. Trajectoires orthogonales des paraboles de grandeur et d'axe donnés ou bien de grandeur et de tangente au sommet données.

2. Trajectoires orthogonales d'une famille d'ellipses ou d'hyperboles homolhétiques par rapport à leur centre ou par rapport à un sommet. Cas d'une famille de cercles.

(') Nous allons résoudre maintenant le problème qui consiste à trouver toutes les courbes dont les tan fientes font un angle constant avec une direction fixe.

PROBLÈMES DE GÉOMÉTIïIE QUI CONDUISENT A DES ÉQLATIONS DU FÉRENTIELLES. 299

3. Trajectoires orlhogonales des paraboles de fover et d'axe donnés. [Coordonnées polaires.]

'i-. <^)ii fait tourner la courbe & :z= tangoj autour du pôle. Trou\er et construire les trajectoires orthogonales des courbes obtenues.

o. \ érifier. par un calcul direct, que la détermination des trajectoires orthogonales d'une famille de cercles avant leurs centres en ligne droite se ramène à une quadrature. Application aux cas où les cercles sont tous égaux ou bien sont homothétiques de l'un d'entre eux par rapport à un point fixe.

(3. On donne une courbe (D i par son équation en coordonnées polaires (r, 9). Trouver les trajectoires orthogonales des cercles qui ont leur centre sur (D) et qui passent par O.

Les équations paramétriques polaires de ces trajectoires peuvent se

mettre sous la forme

i/ étant donné par