Tore {cf. n

C'est la surface engendrée par un cercle tournant autour d'une droite de son plan et constituant, par conséquent, la méridienne. L'axe de révolution étant encore pris pour axe des ;;, soit

(i) [.x — ay-{^z^-—\r- = o

l'équation de la méridienne du plan des zj:. On a l'équation du tore en V remplaçant u- par y'j:--t- j-,

(^eia donne, en isolant au préalable le terme 2ax et élevant au carré.

En utilisant les équations paramétriques du cercle générateur

(3) /■ = rt 4- I\ cos//, r. r3 |{ sii) //, on a les équations paramétriques du tore :

(4) .r =- (a -t- Il cos/f ) cose, j' :=i (a 4- R cos// ) sln r, ; =rrî&in//.

3. Lo.codromies de la sphère. — Prenons pour coordonnées d'un point sur la sphère de rayon i sa longitude o et sa colatitude 5. Si une courbe coupe tous les méridiens sous langle constant V, on a, d'après la première équation (i6) du n° 365,

<iÇ- =1 ( c/5- + sin-5f/cp-)cos2V ou

c/co = it l a 11 g \ — — -z • ^ Hn5

Nous pouvons ne prendre que le signe -+-, en négligeant une symétrie par rapport à zOx. Nous pouvons également, à une rotation près autour «leO^, négliger la constante d'intégration. Cela nous donne

(i) 9 = lungVloglang-

ou

(2) tang- =:6-?''"^'.

Iieinar<iue. — La projection sléréographique {cf. Cliap. XXVlil, ICxercice résolu n°9) de la courbe sur xO y. à partir du point (o, o, — i),

SLRKACES DE UÉN OLUTION : IlÉLICOÏDi: S. 3o7

a pour équalion polaire

C'est une spirale logarithmique (n° 613), comme cela el.ut à prévoir. puisque cette projection doit couper tous les ravons vecteurs sous Fangle V.

V. Lignes asymploliques du love. — ( )n pourrait appji.juer Téqualion (i4) du n° 3G4. .\ous préférons suivre la méthode directe suivante.

Partons des équations (4) de l'Exercice n" 2.

La normale en Al au tore est le rayon du cercle généraleur; ses cosinus directeurs sont les coefficients de R dans x. x, z, soit

(0 a— cos//cosr, 5 = cosMsinf, y=:sinii.

Nous avons les formules <'-^) -r = (7 cosc 4- Ha, r — asïnv -^ \\l. z~l\y

L'équation {02 ) du n'^ 34-0 s"écrit, grAce à elles, ( 3) ft ch( d'j. sinr -h <r/3 cosrj -f- \\{dx^ -^ d'I- -~ d-f-) = o.

Or, la seconde parenthèse est l'élément linéaire de la sphère de rayon i ; elle est donc égale à du"-— ?,\n'-udi-. Quant à la première, son calcul est très simple à partir de (rj; on trouve qu'elle est égale à cos/^ dr. Finalement, l'équation (3) devient

a cos ndi-~ i\(//u-^ s'in- u dç-) =: o.

On en tire, en négligeant les rotations et s\métrie ('),

r" du

y -ros^/(^-i-,-os»j

^' îï^^'' *^-'-'^^ quadrature introduit dc^s lonrtions oilipti<jues. Mais.

il n est pas besoin de connaître ces fonctions pour étudier la courbe.

r. inlégrale a un sens, car, pour u= -~i,\a qucmlit.- sous le signe / devient p'Hiuie comme -^ (t. [, n° 154).

I^OLir la réalilé tlu radical, rosi/ doit être compris entre o et — — •

Donc, les lignes asymptotiques sont entièrement su/' la partie i/ite//ie du toj^e. Gela était, du reste, à prévoir, car, sur la partie externe, les rayons de courbure principaux ont le même signe et les tangentes asymptotiques sont imaginaires (n° 336).

Laissons de côté le cas « < R du lore îi points doubles.

Avec I liypotliese « > li, ;/ peut varier de — a Lorsque u croit

de - à 71, r croît de zéro à une certaine valeur c, et M décrit l'arc MqMi.

,371,,, Puis, lorsque u croît de 71 à — ? l'élément difïérentiel reprend symélri-

quement les mêmes valeurs que précédemment. On en conclut que les valeurs ( ' que prend c se déduisent des précédentes par la formule

Le nouvel arc de courbe résulte du premier par une symétrie par rapport

à leur extrémité commune M,.

St: .

Pour 1/ -= — '-^ ou arrive, de la sorte, au point M.>, sur le parallèle le

plus bas. luisuite, pour la réalité du radical, u doit décroître de — à —, et, ' ' 2 2

si Ton veut ne pas revenir sur ses pas, il faut changer le signe du radical.

L'élément dilTérenliel reprend alors encore xine fois les mêmes valeurs

que précédemment et le jjoint M décrit un arc M^M^M^ symétrique

de M2 M, Mo par rapport au plan méridien qui passe par M^. Arrivé en M4,

on change de nouveau le signe du radical et l'on commence un nouvel

arc M^MsMoM-Mg, qui se déduit de MoM, MoMaM^ par une rotation de

l'angle /4<i-

En définitive, une ligne asymptotique est constituée par une sorte de

guirlande, qui chemine sur la partie interne du tore et qui s'enroule

indéfiniment ou qui se ferme, suivant que — est incommensurable ou

commensurable. Pour la connaître complètement, il suffit d'étudier un quart de boucle tel que MqMi.

Cherchons la tangente e.n M. Elle nous est donnée par l'angle V (n" 365) :

tansV

{a -+- R cosu) ch