SURFACES DE REVOLUTION: IIKLICOIKES

Au i)oinl Mo, tang\ =: x, \ ^: -; la courlîe est tangente au parallèle.

Au point M,, tangV = i/ - —

Si l'on veut des données plus précises, il faut calculer linlégrale [4). par la méthode des trapèzes, par exemple. Nous avons fait le calcul pour a :=; 2 R et obtenu le Tableau ci-dessous, où it et r sont en grades (' ) :

luo

I io

;-jo

iTx)

On voit qu'à partir de «==160, r est pratiquement une fonction linéaire de u. Le quart de période (',=:i38s.g. La jiériode complète

est donc 555s, 6, soit environ i circonférence -^- La tangente au point M,

fait (5° avec xOy, car la formule (5) donne tangV, =r i.

0. Géodésiques d une surface de révolution. — Considérons, au point M, le trièdre trirectangle MXYZ défini par :

MX. demi-tangente positive à la méridienne, a. u\ -MY, demi-tangente positive au parallèle. -■> « H — -\

MZ, demi-normale positive à la surface, a '- -, u\

les nombres au bout de chaque ligne sont, le premier, la colaliiude, le second, la longitude.

Cela posé, soit une ligne géodésique G {cf. Cours, note de la page 36o),

dont la tangente MT est définie par \ MX, MT/ nrr V. La noiniale principale

(') On ne peut pas appliquer la mélhotle des Irapc/.cs au début, puisque In fonction sous le signe / devient infinie. Nous avons caleulé la valeur de t

|)Our iios, en rcnnpiai ant celte fonction par l'expression as\ mplolique

posant t = u —

>io CHAinTRi; XXV.

est normale à la surface; nous la prendrons suivant MZ. La binormale -MB

est alors défiiiie. dans le plan MXY, par \MX,MBy := \ '- •

Les vecteurs unitaires de AIT et de MB ont pour composantes, sur

^L\ et MY : cos^ , siu^', pour MT ; sinY. — ces V, pour MB. Les

cosinus directeurs de MT sont :

i r/ rr: cos \ sinacos// — sinYsin//, < h ^= co%\ sin a sin // -(- sin Y cos?/. ( c -=. cosN" cosa.

C^eux de MB s'en déduisent en chani:eanl Y en \ — -: il est inutile de

Ie5 écrire; nous les désignerons, comme d'habitude, par a\ h'\ c" .

l'oui- exprimer que G est une géodésique, il nous suffit d'écrire que l'on a

ou

„ da , „ cl h a -~^ ^ b -j-

OS lis

„ de

' TTs

Sa'

., { da d\ da dy. da du^

ô\' ds à y. ds ()u ds

. 1 . • . àf^' 01) de 1 . , • , , ,

l^es dérivées -—7, —r^ , -—7 se déduisent de a, 0, c en chane-eant d\ d\ d\

\ en ^ H — -\ elles sont donc égales à — a". — b\ — c" et le coeflî-

cienl de —r- dans (5) est — i. Puis, — — z=r — /> __^rr/; le coeiticient ''/v da du

de —r- est donc ds

ah' — ba" ^::^ — c' —~

dy.

cos y.

F.nfin. le coefficient de —— est ds

cos y. cos\ {a'' cos u -~ b" sin // ) — sin y. cos Y c' .

Comme «'' cos// + ^'' sin « =r sin i^ sin^' = r" langs?, ce coefficient est identiquement nul. Finalement, l'équation (3) s'écrit

dV

du

.<IRFACES DE RÉVOLVTION; HELICOÏDLS.

<Jr. daprès le- formules (i6) du n'^ 365. on a

da sinV

ds r

iJ'autre pail. en passant par lare de méridienne, on a

dr dr ds dr i

sin 3< := —r- = -7~ ~r — T" V '

c/7 ds d'7 ds COi\

Portant dan- ; i . il \ierit

d\ dr I sin\'

ds ds cosV r CI u

d{r sin \ i

ds Hj ) /• sin\= G = const.

Celte équation porte le nom de formule de ClnirnuU . On en déduit la suivante, en utilisant (5) :

(-) r"-du-—Cds.

En raisonnant comme au n'^ 36i, on en déduit que les géodésirjues d' une surface de révolution s'obtiennent toutes par quadratures.

Lorsque la constante G est nulle, on a V rr: o ; on obtient les méridiennes, qui sont bien des géodésiques, car leur plan coupe normalement la surface en chacun de leurs points.

6. Une vis a un pas de 3o'""' et un noyau de i oC""" de diamètre. Son profil est un triangle équilatéral.

1** Calculer l'angle que fait la normale au filet avec le plan du profil et étudier comment il varie.

1° Construire les sections du filet par des plans parallèles au plan du profil et distants de ce dernier de iC"", 20"™ et SC""".

Appelons R le rayon du no^au et k la hauteur du proiîl. celle-ci étant liée au pas (') par la formule

('; On suppose que la vis est une vis a un Jilet. cest-à-dire que sur une longueur de novau égale au pas est enroulé un seul filet, de sorte que le pas est égal à BC.

Le point M situé à la distance horizontale u du sommet A décrit riiélice (* ) "•

(2) .r Z3= (R + A — m)cos(', , y nr (R-1- // — «) sine,

-p-r Al',

£ étant égal à H- i ou à — i, suivant que M est piis sur le côté AB ou sur le côté AC {fig. 35) et /.' étant égal à

si r est évalué en radians.

Fig. 35.

1° Les cosinus directeurs de la normale en M sont déterminés par les conditions

( /■( — « sine +- 6 cosc) -h /.c z= o

s (r — Vx^h — a)

rtcosc — 6sinr + c — ^ :^ o

qui, pour ( = 0, se réduisent à

En écrivant que a- -h 6--1- c-r= 1, on trouve

Orientons notre normale •ve/'.s l'extérieur du filet. En prenant un point M' intérieur à ABC et sur le même rayon que M, le \ ecteur MM' doit

(') Les axes sont indiqués sur la figure 35; ils sont à droite ou à gauche, suivant que la vis est à liroile ou à gauche ( n" 618).

SIRFACES DE RÉVOLUTION; UÉLICOÏDES. 3l3

avoir une projection négative sur la normale. On en conclut que a doit être positif, et, par suite, b doit avoir le signe contraire à t. d'après (5 i.

Xous avons donc

On en conclut que les normales le long de KCsonl. par rapport au plan du profil, du même côté que 0 j; les normales le long de AB ,onl du cote opposé. Aux deux points symétriques M, N (/-. 35), elles font d'ailleurs le même angle -., en valeur absolue, avec le 'plan ABC. Cet angle est donné par la formule

(8) sino= '' - ^^3 /. ,

Lorsque .M parcourt AB, ,■ diminue depuis K - /, jusqu'à H; donc o augmente de 9^ à On.

Pratiquement, le nombre ^ est très petit et Ton peut prendre, sans erreur appréciable,

(q) OoXV.3 C)^p\Jl> 23o

r étant évalué en millimètres et 0 en degrés. On trouve ainsi

•>-° Coupons le liiel par le plan j= 5. Nous avons, entre u et r, la relation

^'" (î — (R -+- A — «) sin('= /sine.

Tirons-en r et portons dans les deux autres équations (2) : ('^^ ^^ \/"-— 3-, r=: -^,, 4- /. an-si//-.

Telles sont les équations paramétriques de la section, où u doit varier de o à 26 et /• de ici à 7.5. Rien ne serait plus facile, en les utilisant que de construire les sections demandées. Mais, pratiquement, il est

pins simple et suffisamment exact de remarquer que ^ et /. sont pelits

CllAl'ITRE XXV

et de remplacer les formules (12) par les suivantes, obtenues en prenant les premiers termes des développements en série :

En coujparcinl avec le calcul exact fait pour 3 = 3o, /=: 75, c'esl-à-dire

pour la plus grande valeur de ^, on constate que l'erreur commise sur r

et sur z est toujours inférieure à 0,2. Avec ces formules approchées, les sections sont des arcs d'hyperbole, faciles à construire.

On peut encore simplifier davantage et obtenir des droites, en développant (i3) suivant les puissances de u et s'arrêtanl au premier degré :

/ :: --0,0473 Xp + «( -Jrz-t-|3x 0,0«)0/l:

L'erreur maximum est alors de 0,7 sur .r et 0,2 sur ;.

Remarque. — Le tracé des sections ci-dessus serait utilisé pour construire le profil des dents d'une roue à vis sans fin, qui engrènerait avec la vis proposée.

EXERCICES PROPOSÉS