Trouver l'équation de la surfa<;e engendrée par le cercle
en tournant autour de Oz. Condition pour que la surface se décompose.
[L'équation est de la forme /(2, c) =r 4«'R'<'S / désignant un
trinôme homogène du second degré et i =r jr- -f- )- + -;'- — a' — R-. La
SURFACES iti: ukvolution: iiKLiroïiiKs. :ii5
(îondition de décomposition s'obtient en écrivant que /est carré parfait. Le résultat est évident géométriquement.]
3. Une courbe algébrique (] de degré m tourne autour d'une droite A. <^uel e-i le degré de la surface engendrée? Cas (rabaissement. Cas
de m -- 2.
(Couper par une droite D quelconque en utilisant, comme surface auxiliaire, la surface engendrée par D en tournant autour de A. Il y a abaissement quand chaque plan perpendiculaire à A ronpe C en deux ou plusieurs points éqaidistants de A.)
'i-. Soient deux cercles C et C ayant même axe et. sur cet axe, deux points .M et M' qui décrivent deux divisions liomograpliiques. Trouver le lieu du cercle d'intersection des sphères (C. M) et (C\ M'). Cas de dégénérescence.
(Prendre l'axe des cercles pour axe des ; et le centre delà sphère S qui les contient tous deux pour origine. On obtient une équation du second degré en S et c. Pour avoir les cas de dégénérescence, on peut écrire que le discriminant du trinôme en S, qui est lui-môme un trinôme en z, est carré parfait.)
o. lùant donnée In cvclide
où / désigne un polynôme du second degré en .r, j, ::, montrer que la condition nécessaire et suffisante, pour qu'elle soit de révolution, est que la quadrique f = o soit de révolution autour d'un axe passant à l'origine. Pousser les calculs jusqu'au bout dans l'hypothèse où / ne renferme pas de termes rectangles.
0. Soient une surface de révolution S d'axe A et une courbe C tangente à un parallèle P de S. Un fait tourner C autour de A et l'on obtient une surface S'. Quelle condition doit remplir C vis-à-vis de S pour que S' soit tangente à S tout le long de P? iCas d'exception d'un ihéorènie du n" 362.)
(Sappuyer sur une construction donnée au n° 3G3. L'axe de courbure de C doit passer par le centre de la sphère inscrite le long de P.)
7. Soit une surface de révolution S d'axe A et une droite quelconque B. De chaque point M de P,, on abaisse une normale MP sur la section de S par le plan mené par M perpendiculairement à B. Le lieu du point P est une certaine courbe C, qu'on fait ensuite tourner autour de B. Montrer
CHVI'lTRl-: XXV
que la surface S' ainsi engendrée est tangente à S le long de C. Les droites A et B étant seules données, peut-on choisir S et S' de manière que C soit une droite? Quel est alors le lieu des diflerentes positions que peut occuper cette droite?
(Le lieu de C est un conoïde de Pliicker.)
8. Trouver les loxodromies du cône, du paraboloïde, de Tellipsoïde et des liyperboloïdes de révolution.
0. Même question pour le tore. Calculer l'équation polaire de la projection sur le plan de l'équateur o:Oy. Montrer que chaque loxodromie se trouve sur un cùne 330 nt pour sommet O et pour base, dans un plan parallèle à ^rO r, une polaire réciproque d'épicvcloïde ou d'iiypo-
C3'cloïde (') : Cas où cosV= —
L'équation polaire de la base du cône dans le plan de cote h est
donnée par la formule p=:/— , facile à établir géométriquement. Lorsque cos\r=:— , on obtient les cercles de Villarceau ( n° 589).
Cf. Chap. XXX^ m, Exercice proposé n° 38.)
10. Trouver les lignes asymptotiques de la surface de révolution engendrée par une parabole tournant autour de sa tangente au sommet.
IL Même question, la méridienne dans le plan des z.r ayant pour équation ;; = jv'" ou log.r.
12. l\lontrer que la surface de révolution qui a pour méridienne la courbe
dx
est applicable (n° 400) sur la sphère de rayon i. Construire la méridienne pour A" = - et pour /,= 2.
l*o<er /• = /. sin//, Or:: -, avec les notations du n°3G5.
('j Cf. une Noie de l'auteur dans les Nouvelles Annales de MatJicnialiqucs. mars 1907.
SIUIACES DK RKVOI.LTIOX: IIKLICOIDICS.
