Soit la surface réglée S, enL,endrée par la droite G

(i) x^^tz.-\-t-, f = l-z-^-t.

i" Cl) ne directeur et sections par les plans de coordonnées.

2° Equations du plan tangent^ du plan asymptote, du plan central; coordonnées du point central.

3° Équations ponctuelle et tangentielle de la surface.

4° Contours apparents sur les plans de coordonnées et sur un plan quelconque parallèle à Os. Cône circonscrit de sommet O.

•i" Montrer que les génératricoS s'appuic/it sur deux droites fixes.

6° Lignes asyinptotiques.

\" La parallèle à G menée par O a pour équalioiis :

(2) a:=z tz^ ' y -^ t' z.

\l\\ éliminant /. on a l'équation du conc directeur :

(3) x'^vz.

C'est un cùne du second degré facile à identifier.

Section par ./O y. — Il suffit de faire z ^= o dans (1 ) et Ton obtient la parabole ./• ;— y'^ .

Section par zO x. — Si l'on fait >■ ; o dans (i), on a

cubi([ue facile à construire.

Section par }0;. — En faisant j; - o, on trouve de même la cubique y =-. ;' — ::.

SURFACES REGLEES. DEVELOPPABLES ; CONES ET CYLINDRES. 3l9

2° L'équation du plan tangent est ( n° 367)

\~ iz — L'- \ ~ t'-z — t Z - ; I

I Z -i- ^t ItZ + I o

ou, tous calculs faits,

(1) y^{-:>Az^\) — \[z-^-it)^'L{it:^—r-z — t) — -?A'^z-\-tz-\-t- — yj. L.Q plan asymptote s'obtient en annulant le coefficient de ; :

(5) 2^X V — /-îZ — 2^3— / — o.

Ecrivons maintenant que les plans 14) et (5) sont perpendiculaires; nous obtenons le z du point central. En portant dans (4), on a l'équation du plan central :

+ Z(8r'-4- 2^3— i) — \t^-^ rif'+ 1 I /•'— 3/- = o.

Tous les coefficients sont divisibles par )/' — 1 ; après suppression de ce facteur, il reste l'équation

(G) X(^*— 1) — '^■/(^--i- 2) + Zi(2^--h 1) H- /-( /'-H /^+3) =-" o.

En portant c dans (i), on a les coordonnées dn point central :

Zt-if'-V 1-— \) lA -2. t' -^ -i ) l{>.t'*~ I-— 'o

(7) ■^' ^= r -, — ; ' V =: — — , r zr:: ■ ; — ;

La ligne de striction est une courbe unicursale du septième degré.

3" \J équation ponctuelle s'obtient en éliminant t entre les é(|ualions (i). En employant le résultant (t. I, \\° 23'i-), on trouve

l'our avoir Véquation tangentielle. exprimons que le plan (//, c. u-, /• ) contient une génératrice ( n° 309) :

(9) «/ -H rZ- -h ip m; u, //^^-t- i7 -r /• izi o.

I'2ii éliminant t |)ar le résultant, on a 1 é(|ii;ition demandée :

(10) ((•/• — iiwy--\- {u-- — r-) [a/ --- iiv) = o.

On voit que la surface est du quatrième degré et de la quatrième classe.

4° Le contour apparent sur xOy est l'enveloppe de la projection de G sur ce plan (n° 369). Cette projection a pour équation

(il) ta: —y — /•'+ t :-- o.

En écrivant que cette équation a une lacine double en t^ on a l'équation du contour apparent :

(12) 4(.r-hi)^^— 27r- — o.

C'est une développée de parabole. {Cf. Chap. X\XV, Exeicice proposé n° 35.)

Si l'on veut bî contour apparent dans l'espace, il suffit de dériver (i i) par rapport à Z; on obtient .r; en portant dans (ii), on a r; en portant dans une des équations (i), on a z. Le calcul donne

f[uartique unicursale.

On trouverait de même les contours apparents sur zOa: et :()y. Mais, ils nous seront donnés comme cas particuliers des contours apparents sur les plans parallèles à Oz.

Cberchons donc le cylindie circoitscrit parallèlement à la direction (a, 5, o). Le plan mené par G parallèlement àcetle direction a

pour équation

'/.{/- -^ tz — a: ) -h l'^ z + t — j- rrz o,

avec la condition de parallélisme /.a-^-|3;=o. En tirant /. et portant ci-dessus, il vient

( I 4 ) i-{P y. z) -i- f { p z - ~ y. ) -h Cf. y ^ ^ .r = o.

11 faut prendre Fenveloppe de ce plan. En écrivant qu"il y a racine double en t, on a léqualion du cylindre circonscrit :

C'est un cylindre du second degré.

Pour avoir la courbe de contact, on dérive (i4) pai" rapport à t et l'on a ;. i"-ii portant dans (i), on a a- et T. Le calcul donne

t\>.7.t--^'hl — a) t(2^l'^- y.l — ^) 2,3^--a

SIRFACKS UliCiLKES. DEVELOPPABLES ; CONES ET CYLINDRES. 32 1

Art courbe de contacl est une cubique gauche.

En faisant az=ri. 3 := o, on a le contour apparent sur yOz\ en faisant a = o, 3 =: j , on a le contour apparent sur zOx.

Le crlne circonsc/u't de sommet O est l'enveloppe du plan (O, G). lequel a pour équation

\in écrivant (ju'il y a racine double en t, on a l'équation du cône :

lin dérivant (i^ ) par rapport à < et combinant avec (i). on a les équations paramétriques de la courbe de contact :

(19) .r = — ;; , y = , ci=r — :