IL- — i - IL- — I IL- — I
<|iiarli([ue unicursale.
5° Si les génératrices s'appuient sur deux, droites fixes, celles-ci font partie de la surface. Voyons si elles ne sont pas en évidence sur l'équation (8). Si Ton fait z ^ ±11. on obtient y -=z± x. D'où les deux droites
D, : ;; i I , )■ =: .r : Do : :; = — 1 , y =^ — x.
Klles ne font d'ailleurs pas partie des génératrices, comme on le vérifie aisément sur les équations (1). Ce sont donc, à coup sur, des directrices de la surface réglée. Au surplus, cela est facile à vérifier a posteriori. En retranchant les équations (i), on obtient le jdan
dans le(jucl se trouvent, à la fois, G et Dj. Donc, ces deux droites se rencontrent. On aurait une conclusion analogue, pour G et Dj, en ajoutant les éfjuations (1 1.
6'' Appliquons réfjualion (82 ) du n" 3'i.ï, en prenant pour «, b, c les coefficients de X. V, Z dans i \) :
■2.{ldz + zdt) [Idz 4- (; 4- 2t)dt\ — { dz -\- idt)[t- dz -\- {"itz -^ i ) dt J
■-r- [— t^dz-r (6^'— 2tZ~ l)dl]dz = 0.
Le coefficient de dz- est identiquement nul; donc, on a la solution Haag. — Exercices, II. 21
dt^^o OU ^ = const., qui est, du reste, évldenle, puisque les droites G sont des lignes asymptodques (n° 37i\ Divisant par dt, il nous reste, tous calculs faits,
(20) dz{\t'- - j) -i- dt( :■- i ) Tzz o. r^es variables sont séparées et l'intégration donne
d'oii Ton tire
, , ^ {:■ ~-i)--+- (Z(z -■- i)- :■'-+- \ — -iniz
(:: — 1)2— Cf.:: -t-,)2 - ni{z^~~l)^-'AZ
en substituant à la constante arbitraiie C la constante ni -- Portant dans (O, on a les équations des lignes asyinploliqucs
( z- — 9. ni z -^ i) { 1 ni z'' — 3 3- -J- i )
JC r
( ^'^ — lin z -r- I ) ( ô'' — 3 .3 -h 2 ni )
On voit que ces lignes sont des courbes unicarsales du cinquième degré.
2. Chercher toutes les surfaces réglées S à paraniètre de distribution constant et à cane directeur de révolution. Montrer qu'elles peuvent toutes être obtenues de la manière suivante : On prend une hélice quelconque H; sur la normale principale en M à cette hélice.^ on porte une longueur constante MP et, par P, on mène une parallèle PG à la tangente MT en M à H. Cette parallèle engendre la surface S. En outre, P est le point central e\ PMT est le plan asymptote.
Prenons pour axe des z Taxe de révolution du cùne directeur et soit 2 y. l'angle au sommet de ce cône. Les cosinus directeurs d'une génératrice G de la surface S sont
(i) rt =:: sina coso, // 3=: sina siii 0, cnrcosz.
Le point directeur^' a pour angle polaire cp sur l'Indicatrice, qui est un ceicle de rayon smoc. Si nous orientons celui-ci dans le sens des q croissants, son arc cx osina el sa demi-tangente positive gt a pour
angle polaire 9 -— • Le plan Ogl est parallèle au j^lan as\inplote; la
SURFACES BÉGLÉKS. DÉVELOPPABLES : OÔMC? ET CYl.INDiUCS. 3'23
pcrpeiulicuhiire i^n à ce plan a pour cosinus directeurs
(2) rt'= cos:x coso, Z>'^ I cosasin o, c'^ — sina,
en l'orienlanl de manière que le trièdre gl.nl soit positif, ^^'A étant le proloniiemenl de O,^''. I.a direction gn est perpendiculaire à G et à la généralrice infiniment voisine G'. Il en résulte que, si l'on prend un point quelconque A sur G et un point quelconque A' sur G', la projection du
\ecteur AA' sur gn divisée par r/^ = û\\y..d'^ donnera en grandeur et en signe le paramètre de distribution A ( n** 370). Prenons, par exemple, pour A, le point où Gperce rOy et soient 4, y, les coordonnées de ce point Nous avons
/ n'dl'\-b'cl% f (Il dri . \
( 3 ) /;■ = : } = cet y. — eus o -\ — ~ si n 'j^ .
sin y. .do \c;'cp ' do ■ '
Nous aurons donc toutes les surface-> S, en prenant, pour ;, Ti, les foncti »ns de 9 les plus générales satisfaisant à (3), le ayant une valeur cousl>nte quelconque. Il est facile de déterminer toutes ces fondions sans introduire aucune quadrature. Posons
( 4 ) 4 cos o 4- r, si n o = />,
fj étant une fonction quelcoufjue de o. DiflTérenlions par rapport à o, en tenant compte de (3) et posant C =r /.- tanga :
( 5 ) — i sin o -r- r, cos o = p' — C.
Résolvons le système (4), (5); nous obtenons
(6) ; =r /y COS'J — ( /;>' — C)sIn'J, -^ =r/J sino -r (/>'— CjCOSQ.
En définitive, la sur/ace S fa plus générale est définie par les formules
{-) jc ^^ i -^ z IdiU^ y. cos o, r r^ r, -t- c tanga sin '^,
;, r, ('tant définis par (6), oh p désigne ime fonction arbitraire de o et C une constante liée au paramètre de distribution pnr
(S) C = /.- tanga.
Démontrons maintenant les propriétés de l'énoncé. L*éi|ualion du pi. m asymptote est, d'après (2) et (4 '•
(()) x coso 4- jsin o — ; tanga= : coso -f- r, sin o = />.
il'
Ce plan doit conlenii la langente ol la normale principale de l'hélice II-. Donc, celle-ci doit être l'arête de rebroussement de l'enveloppe de (<)) (11° 289); 01 lobliendi-a par deuv dérivations successives :
— J" Slll O -i- V COS 'J rzz. Ji .
— X C05 0 — y sin o -==- p'
D'aLord, c est bien une hélice, car sa langcnte MT, qui est définie par (9) et (10), est parallèle à G et. par suite, fait un angle constant avec 0:^. Cela suffit pour prouver que II est une hélice, dont le cylindre rectifiant est parallèle à O^ {cf. Cliap. XXIV, Exercice résolu n° 9). La base de ce cylindre dans xOy est l'enveloppe de la droite (10). Comme p est ni;e fonction arbitraire, cette base est une courbe quelconque et II est bien l'hélice la plus générale.
Les coordonnées de M sont déliiiies par (9), (10) et (11). La cote "o s'obtient immédiatement en combinant (9) et (ii) :
(•ota(/'4-/j").
Si nous reniar([uons maintenant que la normale principale MF à H est parallèle à xi) y (n° OIG), ^o est aussi la cote du point V . Il s'agit de mon-
Fif
trer que ce point est le point central. A cet eflet, il nous suffit de faire \ oir <|ue la tangente P5 à la courbe .r = const. (|ui passe par P se trouve dans le plan central, c'e?t-à-dire dans le plan perpendiculaire au plan asymptote PMT. Et pour cela, il suffit de montrer qu'elle est perpendi-
diculaire à MP, qui a i)Our anule itohiire o -\- — • En définitive, nous
SURFACES REGLEES, DKVEI.Ol'PABLES ; CONES ET CYLINDRES.
avons à vérifier lii relation
(£' — Zq langa sin o) sin o -j- [W -r- z-o tang^J coscp) coso ::=: o
ou
( I 3) Zf) langa =: £ sin o — y/ cos-i.
Or, en diflérentiant (5) et tenant compte de (4), on trouve que le second membre est égal à — {p -\- p"). Il est bien égal au premier, d'après (r:». ).
Enfin, il nous reste à prouver que MP est constant. Or, MF n'est autre que la distance de la droite (lo) au point A. Donc,
( 1 4 ) MP = — ; sin 9 4- T/ cos o — p' ^ — G ^ — /. lang a,
ce qui est bien une constante.
3. Calculer l'équation du cône de sommet S (a, 3. y)et ayant pour directrice la cubique G :
SoitM(.2:, j% z) un point quelconque du cône. Nous allons exprimer que la droite MS rencontre G. A cet effet, nous écrirons que les trois équations telles que la suivante sont compatibles en t, p :
a ~ t ou, en posant x — y. ^z l^
(2) c/.t -\- ai/j -\-'ltp^:^\ — av..
Xoiis avons trois équations du premier degré en /. 0, Zo. Nous allons les résoudre et nous écrirons que /.p = /p. J^osons
''-. || = S(i — «a)(/> — c)-oÇ, -:il = S;[.37(^-0-H.3--/l, I — rt a I i = — ."^V/ ^^ [ 3 ■/ ( i — c' ) -i- 3 — ■/ ] ,
al.
ai
\ — ay.
ai
Nous avon--
L'équation (leinandée est donc (4) D,D,--DD3.
l^llc est du troisième degré, (•oiunie on devait s'y attendre. iSolre équation devient illusoire lorsque
car les déterniinants D^ et 1)3 sont idenli([uement nuls. Dans i:e cas, il faut reprendre l'élimination. Les é(| nations (2) sont lioniOi,'ènes en / — 6*^ p, t^. Quels que soieii t ;, tj, Ç, elles admettent toujours la solution : t ^^ 0, p z= o ; ce qui n'est pas étonnant, puis<[ue S est alors sur la courbe. Mais. pour que M apj)artienne au cône, il faut <[u'il y ait un autre point de ren.contre. Autrement dit, le système (2j doit admettre une solution non nulle en / — 0, 0. lo. (3n a donc la condition (')
qui est maintenant ré(|uation du cône. On vérille qu'elle e>t du second degré ( n° 379 t.
Rcinavque. — On peut aisément déduire de ce qui précède l'équation du cylindre «jul passe par C et dont les généi'atrices G ont une direction donnée OX. Il suffit, en elïet, de supposer que S s'éloigne à l'infini daii> cette direction. La manière la plus commode de voir ce que devient l'équation (4,), consiste à remar([uer (ju'on peut intervertir les rôles joués par M et S et considérer ( /î) comme l'équation du cône de so.mmet iM à condition de regarder a, j3, y comme les'coordonnées courantes. Si M va à l'infini sur O?., i^, r;, 'Ç deviennent infinis proportiouncdlement aux paramètres diiecteurs de cette direction. Mais, l'équation (4) étant homogène en 4, -ri. t. sa limite s'obtient immédiatement en remplaçant ç, Ti-, C pnr ces paramètres. Antreineiit dit. ,v/, daixi^ (4)> "f^ regarde c, (3, y comme les coordonnées courantes, celle équcillon représcnle le cylindre circonscril à C et dont les génératrices ont pour paramètres directeurs ?, Y], t.
EXERCICES PROPOSÉS
1. !vé>oudre les (|ueslions de l'Exercice proposé n" 1, pour la su i ("ace réglée
.r = tz + l-, y = l-z H- l\
('j Si celle conciilion est roni|>lic, il y a une inniiilé de solutionà en t — 0, Mui?. une seule satisfait à l'cqualion t.c = /c.
SMUACKs iu;(;li-;es, developpables; cônes et cylindres. 327
l'our 4", 011 prendra les conlours apparents sur les plans, parallèles à Oa:, au lieu de O;, Wmv 5'\ il n'y a qu'une droite fixe.
( L'équation dilTérenlielle des lii;nes asymptoli([ties est homogène en z, t. l'aile conduit à des cubiques.)
2. Ligne de striction et paramètre de dislrihulion de la surface engendrée par une droite parallèle à ^0/ et s'appuyant, d'une part, sur une bissectrice de ^O.i' et, d'autre pai t, sur un cercle du pian des y:-, tangent en O à Oy.
3. On considère un cylindre de révolution et un cône de révolution admettant pour axe une génératrice A du cylindre et ay^ant un angle au sommet égal à un droit. Calculer les équations paramétriques, l'équation implicite et léqualion tangeulieHe du conoïle droit, qui a pour axe la génératrice du cylindre diamétralement opposée à A et qui s'appuie sur l'intersection du cylindre et du cône. Calculer l'équation du plan tangent en un point M quelconque. Montrer qu'il existe une infinité de cônes de révolution d'axes parallèles à A circonscrits au conoïde chacun le long d'une biquadratique gauche. Former leur équation en fonction de leur angle au sommet. Les sections par des plans passant par Oa- sont des ellipses. Montrer que la développable circonscrite le long de chacune de ces ellipses a pour arête de rebroussement une courbe se projetant suivant une épicycloïde [cf. Chap. XXXIX, Exercice proposé n° G) sur les plans perpendiculaires à A. Le lieu de ces arêtes est un conoïde droit d'axe A. Trou\er enfin les lignes asymptotiques du conoïde proposé.
V. Étant données une surface réglée S, une génératrice G de cette surface et une droite cpielconque D de l'espace, le plan langent en M à S rencontre D en P. Montrer que le lieu de la droite MF, quand M décrit G, est une quadrique Q. se raccordant à S le long de G. Montrer que, parmi ces quadiiques de raccordement, se trouvent un hyperboloïde de révolution et un paraboloïde hyperbolicpie équilatère, dont un plan directeur est perpendiculaire à G. Quel e>l le lieu des normales à S le long deG?
5. Montrer (|u'avec les notations et conventions du 11" 307, le paramètre de distribntinii e>t donné |)ar la formule
/> = \\ cy.' a' a \\ .
La condition pour (jue le point (a, S, 7) soit le point rentrai est
On peut se donner arbitrairement l'indicatrice, le paramètre de distribution et l'angle V que font les génératrices avec la ligne de striction. Cette dernière ligne est alors définie par les formules telles que la suivante :
a =-. / k{b' c — c' b -\- acolW ) dv.
{Cf. Exercice résolu n°2.)
G. On coupe une surface néglée par le plan normal à une génératrice G en son point central C. Démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour que la section admette C comme j)oint de rebrous-ement est (|ue le pai'.imètre de distribution soit nul. Application aux surfaces développables.
(f>évelopper les coordonnées .r, y d'un point de la section suivant les puissances de c, en utilisant le n" 370.)
7. Si une surface réglée possède une courbe unicursale, elle est unicursale et toutes ses sections planes sont uiiicursales.
8. Calculer réqualion dilTérentielle des lignes risvinptotiques d'une surface réglée. Montrer que (|uatre quelconques de ces lignes déterminent un rapport anharmoni([ue constant sur les génératiices. Cas où il y a un plan directeur (plus généralement une directrice recliligne ); cas du conoïde.
On trou\e réi[uation de Riccati (t. 1, note III j :
•iu' il y.' a a'W + || a' a a" || + «[||a' y. a" \\ + |i a' a a" \\ ]
9. Trouver les surfaces réglées à ligne de striction plane. Cas où le cùne directeur est de révolution et le paramètre de distribution constant.
( Appliquer l'Exercice n° 5. Si y =^ o, a = / > (3 := — / • Dans
le cas particulier signalé, on pourra aussi se reporter à l'Exercice résolu
n° 2 et l'on trouvera l'hyperboloïde de révolution. |
