Montrer que les projections
ocr^zo, j=rsin/ ( projfclion plate) ;
.r r= 9 cos/, Y =^ / ( projection de Flamsteed )
conservent les aires.
8. On considère la transformation (1) du n** .398 et Ion suppose qu'au
point /»o (./:o, r,|, Zq)^ le déterminant fonclionnel (t. I, Chap. XXIF,
D ( /, o-, h ) Exercice proposé n° 9) -—-^ — — soit diflerent de zéro. Montrer nue si
deux points /;?, m', voisins de m^, sont à une distance e infiniment petite d'un certain ordre, la distance E des points homologues est infini-
TRANSFORMATIONS. 3 j I
ment petite du même ordre. En conclure que Tordre du contact de deux courbes passant par /Uq est conservé dans la transformation. [Appliquer la formule des accroissements finis (t. I, n" 131) ft les propriétés des formes quadratiques (t.l. n° ;306).]
1). Montrer qu'on peut obtenir la transformation homograpliique la plus générale, en faisant correspondre les points qui ont mêmes coordonnées par ra|)port à deux lélraèdres (ou triangles) quelconques.
10. Montrer que la transformation liomographique conserve r<jrdre des complexes algébriques.
11. Montrer que la transformation liomographique conserve les lignes asyniptoliques.
12. Démontrer que si l'on fait deux perspectives d'une même figure plane sur un même plan, on obtient deux figures homologiques.
13. Etant données deux figures homologiques planes d'axe A, on i-ii fait la perspective, èi partir d'un point queIcon(jue S, sur un plan parallèle au plan (S, A). Que deviennent les deux figures?
14. On appelle tr an s/or mat ion affine ou affinité toute transformation homographiquequi conserve le plan (ou la droite) de l'infini. Montrer qu'une telle transformation transforme deux figures homothétiques en deux figures homothétiques.
15. Si deux quadriques sont coupées suivant la même conique C par un plan P, elles sont homologiques de deux manières différentes, P étant le plan d'homologie. Les centres d'homologie sont conjugués liarmonique> par rapport aux pôles de P par rapport aux deux quadriques.
(Envoyer G au cercle imaginaire de l'infini.)
IG. Deuxconiquesd'un même plan sont homologicpies de douze manières dilTérentes. (iLnvoyer les sécantes à l'infini. En particulier, l'inversion pour deux cercles est une liomologic.)
17. Trouver les centres et rapports d'homolhétie i\&> qua(lri(|ues sui- \anles :
2JP- — y- -h 3j-^ -- zx -T- ixy 4- liX — 2^ 4- :; — 4 = o, ix- — /■' + 3y 3 — zx -\- ixy -\- x -\- [\y — 3 r — 7 r^ o ;
— 3 J7- H- \ z- — ^jz -h .\ zx -\- ixy -^ ox — y — z ■=: o,
— 3./-- + '1 z^ — \ yz -h 4 zx — 2xy -i- 2x -+- ^y — 3 c — 5 = o.
3V> CIIAPITRK XXVlll.
18. Démonlrci- le théorème de Brianchon (n^oGS), à l'aitle d'une Iransforinalion homograpliiquc
(Envoyer auv points cycliques les points de contact des tani;enles issues du point de lencontre des droites 1/4 et 25.)
10. On joint deii\ points fives A, B d'une conique à un point P. Les droites PA et PB rencontrent la conique en A' et B'. Enveloppe de A'B' quand P décrit une droite fixe A.
(Envoyer au\ points cycli<[ues les points de rencontre de A ayec \a conique. 1
20. Même question en supposant A. B fixes en dehois de la conique et P mobile sur celle-ci.
21. Démontrer que si deux coniques Y et ï' sont telles qu'il existe un triangle ABC inscrit à Y et circonscrit à T', il en existe une infinité (noWS).
I Envoyer B et C aux points cycli(|ues. 1
