Démontrer le théorème de Frégier ( n
I Envoyer aux points cycliques les points de rencontre de la conique avec les rayons doubles de 1 involution.)
23. Résoudre, par une Iransformalion liomo;iraphique, l'Exercice proposé n'' 52 du Chapitre I\. Même question pour l'Exercice proposé h° 1î> du Chapitre X\I\ ( envoyer aux points cycliques les points de rencontre (le BG avec la conique ) et pour l'Exercice résolu du n° 3 du même Chapitre (envoyer C au cercle imaginaire de l'infini).
2V. Montrer qu'on peut toujours, par une transformation affine, Irans- Ibrmer un trièilie (|iielconque en un liièdre tiirectangle.
25. Démontrer que toute cubique gauche peut être transformée liomographiquement en la suivante :
2G. (^)ue devieiiueut le> formules de la transformation homographique
plane, quand on prend le triangle AjAoAs des trois points doubles
pour triangle de référence? Démontrer que le rapport anharmonif[ue du
faisceau A, ( Aj A3 M //<) est constant et égal à ^-
TR.VNSFOR.MATIOXS. 3 VJ
27. Calculer les poiiiL- doubles d'un déplacement quelconque dan> le pian el, plus généraleinent. d'une correspondance par >inilliuule. Réciproque. Appliquer les résultais de rEvercice précédent. (Les points doubles sont les points cyciif[ues et le centre de rotation. Partir des formules du changemeut de coordonnées rectangulaires.)
'2H. Reprendre l!E\.ercicç précédent dans l'espace. {Cf. Gliap. III. Evercices résolu n° 2 et proposé n" IG. On remarquera que la racine S = i e^i double. )
29. Etant donnée um transformation homograplii([ue dans l'espace, la droite qui joint deux poitit> liomolopues en:.:endre un complexe tétraédral. i Cf. Exercice n" 20. >
30. Etudier hi transformation du second ordre dont les (|uatre points doubles sont les sommets d'un trianç.de et -on centre de ;:ravité. Ouel esl le triangle fondament il?
31. -Montrer ([ue toute transformation du second orJre esl la transformée liomograplii([ue d une Iransformalion par points inverses.
( Cela revient à démontrer quêtant donnés un triangle .ABC et un point D de son plan, on peut faire une transformation botnographique telle que D devienne le centre du cercle inscrit ou bien l'ortliocentre du triangle transformé de ABC. On peut aussi envoyer aux points cycliques deux points homologues quelconques.)
32. Démontrer, par la Géométrie élémentaire, les propriétés énoncées au n' ilG sur la transformation par points inverses.
33. Deux paraboles variables sont circonscrites au triangle ABC. Leurs axes font un angle constant. Trouver le lieu de leur quatrième point de rencontre.
{Cf. Exercice résolu n' 7. )
Sï. Trouver le lieu des fovers des paraboles inscrites dans un triangle. (Un des foyers décrit la droite de linfini. )
33. Que deviennent, dan- la transformation par points inverses, les conir[ues qui passent par deux points fondamentaux B el C? Montrer que tout cercle F passant par B et C se transforme en un cercle F' passant par ces mêmes points el faisant avec B.\ et CA les angles que fait F' avecC.\ el BA. En déduire que l'angle de deux cercles F égale l'angle des deux cercles F' correspondants. Que devient, en particulier, le ceicle décrit sur BC comme diamètre?
llvAG. — Exercice-^. II. î!J
36. Reprendre les Exercices résolu n° Set proposés n'^* Il et 12 du Chapitre III du Tome I.
37. Etablir, par le calcul, les propriétés élémentaires lappelées au n" il S sur FinviMse d'une droite ou d'un cercle. Etablir éi^alement les propriétés relatives à Tinveric d'une coni([iie.
38. Etablir, par l'inversion, la propriété du cercle d'isogonalité ( n° 17o) et de la sphère d'isogonalité.
39. Montrer que l'inversion conserve le rapport anharmonique sur les cercles (n° 568).
40. Etudier ce que devient, par l'inversion, la théorie des points conjugués, pôles et polaires par rapport à une conicjue.
[Deux points M et M' sont conjugués par rapport à une cyclique à point double O, si le cercle OMiVl' rencontre la cyclique en deux points N etN' tels (|ue le faisceau 0(AIM' \N') soit harmonique.]
'*!. <^)ue deviennent, dans l'inversion, les axes d'une conique? (Les considérer comme des cercles orthogonaux aux cercles bitangenls. )
'4'2. (}ac devient le cercle de Mon;:e (n''.o30)?
V3. Comment peut-on calculer le degré d'une courbe plane anallagniati([ue connaissant la classe de sa déférente? Cas où celle-ci est une conique.
(Cf. l'exercice résolu n" 8. < observer qu'il v a abaissement du degré, quand la déférente est tangente à la droite de l'infini.
i+. Monlrei' que toute ([uartique bitangente à la droite de l'infini aux points- cycliques et admettant un point double à tangentes isotropes est une anallagmatique, dont la déférente est une bypoc\'cloïde à trois rebroussements. (S'appuyer sur l'Exercice résolu n" 8 et sur le n° 602.)
'lo. liésoudre les équations (48) du n° -'i21 par rapport à se', y', z'.
kd. Vérilier la propriété des tangentes à l'aide des formules ( |8 ) rappelées ci-dessus.
On vérifiera que les deux point
n'-ch
a-dz
et {dy , dy , dz' ) sont symétriques par rapport à la droite OM.
V7. Reprendre, pour l'espace, les Exercices W et il.
TftVXSFORMATIOXS. 355
iS. Gomment se Iran.foime. par rinversion, une conique dont le plan ne passe pas par le pùle dinversion? (, Biquadratique sphériqur'; cf. Chap. X\X\ III. Exercice résolu n" -1. )
W. Que sont les projeclions -léréograpliiques des loxodromies?
00. Etablir les propriùtés de^ cercles de la sphère en projetant >téréograpliiquementles cercles du plan deso^y. yCf. Cliap. XII. i
01. Montrer que tonte surface analla-matique admettant pour déférente une surface réglée est une surface cerclée. [Cf. Exercice résolu n» 10).
