Reprendre, dans l'espace. TExercice i
03. Montrer que Tinverse d'une coni(iue quelconque de l'espace en une courbe anallagmatique.
Même question pour l'inverse d'une quadrique. (Considérer le-< cercles €t sphères l)itangents. )
oi. L'inver>ion conserve les cercles de courbure et les sphères oscula- Inces et surosculatrices d'une courbe quelconque.
OO. L'inversion conser\e le> cercles et sphères de rayon nul.
oO. L'iNversiui. tran-foiiue les ligues de courbure d'une surface quel-
<:onque suivant les lignes de courbure de la surface transformée. (S'appuyer sur l'Exercice [)roposé n" Il du Chapitre XXIII. )
o7. Déduire des formules (53) du n" 426 les formules qui définissent la iransforination associée T' :
Ka=a.r'-^ay -^u z —al', i' = b jl' -{- . . . ,.
oS. .Si deux points m et M correspondent à un même plan I' par les deux transformations associées T et T', ils sont en correspondance homo- •-raphupie. i:crire les formules qui définissent celte correspondance. Montrer que. pour que/« coïncide toujours avec .M. il faut et il >uffit que le tableau des coefficients de. formules (53) soit symétrique. Les transformations T et 'Icoïncidenl alor- avec une transformation par plans polaires réciproques; trouver l'équation de la quadrique directrice
( a.i:' -\. ,t'y'-i-a"z'-\-a" i'—a.c + by -\- cz -f- el, . . . ). oî). Si une traii ^formalion corrélative est telle que cinq plans oient les
CIIVPITHE XXVIII.
mêmes points homologues dans cette transformalioii et dans son associée, c'est une transformation par plans polaires réciproques.
(La transformation liomoi^rapliique ci-dessus possède cinq points doubles.)
(10. A un même plan, on fait correspondre deux points M et M' par deux transformations corrélatives quelconques. La correspondance entre M et M' est homograpliique. En déduire que toute transformation corrélative se ramène, par une transformation honiographique convenable, à une transformation par plans poIairc> réciproques de quadriqr.e directrice donnée.
GL Ecrire les formules ((ui définissent la transiormalion corrélative associée au complexe linéaire ( n° 123) :
Aa-hBi3-f-Cy-FD/-+-Em -i- Fn = o.
Montrer que toutes les transformations de cette nature sont caracléi isées par la condition que leur déterminant est un déterminant symétrique gauche (t. l. n° 277) ou encore par la condition que chaque plan passe par le point qui lui correspond.
G2. Si deux courbes sont osculatrices, une transformation corrélative les transforme en deux développables dont les arêtes de rebroussement sont osculatrices. (Cf. n" V26, théorème IV.)
03. Comment se transforment, par corrélation, les coniques dans le plan, les coniques, les quadr)i|ties et les cônes du second degré dans^ l'espace?
O'i. Etant donnée la conique directrici
2 jf - — y'+ 3 .r/ -h 2 .r -
trouver les équations ponctuelle et langenticlle de la polaire réciproque de la conique
ce- -H 2 )'- — I = o.
Go. Ivtant donnée la quadrique directrice
3 X-- + j- — :--+- 2,x — 4 r =: o, trouver les érjualions de la polaire réciprocpie du cône
THA.NSIOli.MATlONS.
el tie la coniijiie
X'- -f- 2 .r V + -- — 6 j:* = o, j; 4- oy — c — 2 = 0.
{'A). Comment recoiinail-on le genre et comment Irom e-t-on le centre de la polaire réciproque (Func coniqne C par rapport à une conique F? .Mêmes ([ueàlions dans l'espace.
(j7. Trouver l'enveloppe des cordes d'une conique C vues d'un point fixe O sous un ani:le droit.
(Transformer par polaires réciproques par rapport à un cercle de centre O. On est ramené au cercle de Monpe. l
G8. Trouver le lieu des sommets des anî;Ies de grandeur constante circonscrits à une conique. (Polaire réciproque par rapport à un cercle ayant pour centre un foyer de la conique.)
09. Reprendre l'Exercice ()7. en supposant un angle constant (|uelconque.
70. Soient une conique C et deux droites D et D'. Trouver l'enveloppe des droites A qui coupent D. D' et C suivant une division harmonique.
(Faire une transformation corrélative telle que D et D' deviennent les points cycliques.)
71. On détermine un poini M par deux visées faites de d<'ux postes O et O'. Construire un abaque à alignements donnant les coordonnées du point M à partir des angles annoncés par les deux postes.
(Faire une transformation corrélative quelconque. Les rayons visuels O-M et O'M et les parallèles aux axes de coordonnées menées par M se transforment en quatre points en ligne droite, qui décrivent les quatre droites liomologues des points O. O' et à rinlini sur les axes. En graduant convenablement ces droites, il suffit de tendre un fil entre les deux premières pour lire, sur les deux autres, les coordonnées clierchèes.)
72. Montrer que la correspondance entre un point et sa polaire Irilinéaire équivaut à une transformation du second ordre suivie d'une transformation par polaires réciproques. (C/. Cliap. IX, Exercice proposé n" 2 el Chap, \, ivvercice proposé n° 1.)
CIIAPITKE XXIX.
piiornii Ti:s i>ro.ii:ctives des coit.iïks et suiu'Aces
DU SECOND DEGr.K.
EXERCICES RESOLUS
1. On considère les coniques C définies par l éijualion ( I ) x--\-i À xy + \i.y- — IX -\- \ /. )■ — À- r= o.
x" Calculer \j. en fonction de a pour que la conique se décompose, (jalculer les équations des droites de décomposition et trouver le heu de leur point de rencontre.
2° Montrer (ju'il existe deux coniques C admettant pour polaire d un point donné P une droite donnée D. Discuter leur réalité.
1° Ecrivons que la conique adnicl un point double A : (2 ) X 4- À )■ — 1 = 0. /../■ H- p )• H- 2/. zir o. — X + i'ry — /,-=r o.
Ces écfualions doivent être compatibles en .r, y. La piemièreel la dernière ne renferment pas ;j.. Si, entre elles, on éiimire )., on obtient l'équation du lieu L de A :
(3| {Zx — ■l)y--^{x l)"-=:0.
On jieut aussi les résoudre par rapport à .z', y :
ôl
Gela donne les équations pararnélriqnc> de L, (|ui est une culji(|ue facile à construire.
Si, maintenant, on poi te ( 4 ) dan- la deu\iriiie é(|ualion (2). on obtient la condition de dégénérescence
PROPRIÉTÉS PROJCCTIVliS DIÎS COI RBES ET SURFACES DU SECOM) DEGRE. J:)*.)
Elle est du pieiuier degré en y. et Ion en lire
Celte condilion élanl supposée remplie, pour calculer les équations des droites de décomposition, décomposons (ij en carrés; on trouve, en remplaçant y. par sa \ aleur.
On a bien deux, carrés seulement et les deux droite-? onl pour équations
On vérifie aisément qu'elle? se coupent au point A. dont les coordonnées sont données par ( 4 i.
On peut rendre l'équation (6) rationnelle, en posant À =: tango; on obtient ainsi l'équalion générale des droites F) sous la forme
(7) .r COS9 + 7' sin 0(1 4- 3c cos'j) — cos'j — £ rr o (î=±i).
2° Soient (a^o. J'o) les coordonnées du point V tt (//, c. ni celles de la droite D. On doit avoir ( n° i3i)
,0 -3^0 -^'/-.Vq — I __ /■■rn-l-;j-.v„-^ 2'/. — ^r,,^ -!To — "/.-
l-^u égalant le premier et le dernier rapport, on obtient une équation qui ne renferme pas u. :
(9) '/.- u -f- /.^Ve(tv — lU) — //.r„-i- (r(:ro— 1) =:: o,
Elle est du second degré en À. Quand on en a tiré >., on a en>uile y. en égalant les deux premiers rapports :
( r o ) \xy„ — - I X,, -^ >. j'o — 1 ) — A ( .ro + 2 ).
Il y a bien deux coniques C répondant à la f/ueslion. Si Ion observe l'équation (91, on voit qu'elle ne renferme pas c. La râleur de À ne
dépend donc que du rapport — > ou. -i l'on veut, de l'abscisse ;=
du point de rencontre B de D avec 0,r. On peut en déduire que, lorsque D pivote autour de ce point, la conique C est bitangente à une
j6o (IIAriTBE WIX.
conique fixe en ses deux points de rencontre avec O^ (n°507), puisque [x seul A arie.
Remplaçons — par — - dans l'équalion <)) : ^ ' u
(il) >.- — /.J'o (4 ^- 2 ) — J-o — -" l I — J^.. » — O.
La condition de réalité de / et. par suite, de la conique C, est
ylic-i-i)-— I [J^,— ;i I — .ro)]^o
ou
c-yl -H 4 ; ( } :> — ^^'0 — I ) -- 4 ' yt — -^o ) -^ o.
Le premier membre est un trinôme du -econd degré en -. Soient;, et 1-2 ses racines, B, et B^ les points correspondants de Ox. Pour que les deux coniques C soient léelles. il J'anl et il suffit que la droite D rencontre Ox à l'extérieur du segment BjB,.
Ce segment dépend de la position du point P. Il convient détudier sa réalité. La condition de réalité des racines du trinôme < 12 ) est
( .^0 -^ •^"o -- 1 )- — yi ( yi — x^ )
ou
Le premier membie nest i'.utre que (3). Si l'on remarque (|ue l'inégalité est satisfaite par l'origine, on voit que le segment BjB., n'est réel que si P se trouve dans la région, limitée parla courbe L, qui comprend l'origine. \in conséquence, si P n'est pas dans cette région, les coniques C sont toujours réelles^ quelle que soit la droite D.
Lorsque 1^ est sur L. le trinôme 1 i>) est un carré parfait, soit
Les deux racines de (11) >ont donc rationnelles. 11 serait facile de les calculer. Mais il vaut mieux, se demander, dés n}ainlenaiit, à quoi lient cette particularité. Rappelons-nous que le point P est le point double d'une conique C,. dont le A annule les numérateur> des jiremieret dernier rapports (8). Dès lois, l'équation (11). qui a été obtenue en égalant ces deux
rapports, admet certainement cette racine '/.[. qui est égale à ^•
.}'o L'autre racine /.., est donnée, par exenqile, par la >-omme des racines
>-2 = /o(çH-2)
va*
1'H0I'iui;ti:> projkctives oks coirue? et «iiu-aces du -^eog-nd degré. 3Gi
La valeur y.,, qui correspond ii /.., annule le deuxifuie rapport (8 i. Illlt' e>t indépendanle, comme /.). de la droite D et la conique (/.,. .y.,) n'est autre que la conique T., . qui admet P pour point doulde. Ce ré-^ultat était, du reste, évident 1^/ /)//o/7'.- car, quelle que soit la droite h, elle admet le point I' pour pôle singulier i n° V3V) par rapport à Cj.
Ouant à la conique il., corre-«pondant à À,, on Toliiiendrait en port.inl ( 14) dans (ro), \ou- lai-sons au lecteur le ^oin de faire «^e calcul.
'2. Cherche/- les C('>nes pouvant clie représentés pai- li-fj nation
( I ) r- -— y- -^ Z' -^ 1 X -^ 2 y -^ 'x z ^ \ ^ ■> <'/.yz ~ y. z r -r— -j r \) :i^ o. Ecrivons le^ quatre équations dérivoe-
11 faut quelles soient compatibles en x, y. z. Ilelranclions < 5) de (2) :
et Ion a deu\ équations analogue-, en retranchant (5 > de (3) ou de (4)- On obtient ain-i troi- équation- lioniogène-<. Comme la solution
ne -aurait vérifier (5 1, il faut que le déterminant de ce s\>lème soit nul. Or, il est égal, comme il est facile de le vérifier, à 2 (À — i j {'j. — i) (v — i). L'n/i des trois nombres '/.. y., v doit donc être égal à i.
Soit, par exemple. V ^ 1. L'équation (6) nous donne ; ^ o et le système (21, (3). (4), (5) se réduit à
qui détermine x et v d'une manière unique, si À et y. ne -ont pas égaux, à I ('). La -urface est donc un cône C dont le sommet S est un point quelconque de la droite D du plan des xy représentée par la première
I ' ; Si A = u -/- I, les équations (- f sont incompatibles. .Mais, en courdoimées liomogènes. elles adnfietlenl la solution x -z- y — o, t = o, le sommet est à linfini : la surface est un cylindre dont It-s ;;cnéralrices sont parallèles à la seconde bissectrice de xOy.
éqiialion (7). 11 v a craillem- une iniinilé de cônes C admellanl pour sommet un tel point, car il v a une infinité de valeurs de /, y. satisfaisant à ( 7 ), pour des valeurs données de j", y.
Vovons ce que devient léqualion (1). l-.lle peut s'écrire
Elle a liien la forme caractéristique de Véqualion des cônes ( n" 375) el. en annulant les trois formes linéaires
X '\- y -^ i . :-, jJia^ + /)■+- + I,
on retrouve le sommet S ri-dessu>. L'équation (8) nous montre encore (|ue. lorsque /. et p. varient, tous les cônes C sont tangents au plan des xy le long de la droite D (n° 307).
Cherchons si le cône peut dégénérer. Les équations (2) à (5), el par suite les équations (7), doivent admettre une infinité de solutions. Ceci n'est pos■^ible que si /. m y. 1= 1 . Dans ce cas, les quatre équations (2) à (5) se réduisent à
(9) cr+r + ~. + 1 — o.
11 y il un plan de points doubles; la surface est un plan double, à savoir le phin (9) compté deux fois. EfTectlvemenl, si /. = ^ul z= v = i, le premier membre de (1) est identi([ue à {,v + v-i- s -j- 1)'-.
3. Soient une conique C el un point A et une droite D non situés dans son plan. Trouver le lieu des sommets des cônes ayant pour base (. et tels que le plan polaire de \ par rapport à cliacun d'euxpasse par D.
Soit P le point de rencontre de D avec le plan de C {fig- 4p)- Le plan polaire de ce point par rapport au cône doit passer par A et aussi par la polaire A de P par rapport à C. Comme il doit contenir le sommet S, on voit (|ue celui-ci doit déjà se trouver dans le plan (A, A). Soit maintenant 1) le point de rencontre de D avec ce plan. Les droites SA, SB doivent être conjuguées par rapport au cône; elles doivent donc couper A en deux points conjugués harmoni(|ues par rapport aux deux points de rencontre E, V de A et de C. Cette condition e>t d'ailleurs suffisante, car, si elle est remplie, le plan polaire de A 'passe par B; il jiasse, d'autre pari, par P, puisf(ue le plan polaire de ce point est (S, A) et contient A; donc, le plan polaire de A contient D. En définitive, nous sommes
l'ROrUlKIÉS l'HOJtCTIN ES DLS (JOLBBES ET SLUFACES DU SECOND DEGItK. 3G3
riimenés à Irouvei'. daii> le plan (A, A), le lieu des points S lel-- (|ue SA, SB divisrnl liaimoni([uenienl le segnienl EF. Il e:t évident (|iie AS el HS décrivent des fai^ccauv liomograpliiques. Donc, le lieu demandé
est une coni<jue passani par \ et l>. Le> tangentes en ce- point'- pa->enl par le point Jl conjugué liarmoni(|iie, par ra]>porl à El',, du point de rencontre Tr de AI) avec J-^E.
Suhilion analytique. — Prenons le tétraèdre AGUI' pour tétraèdre de référence. La coni([U(' (1 doit être conjuguée par rapport au triangle GIIP; elle a donc des équation- de la forme
La droite IJ a des érpuilions flr la fonnr (2) ^=-0, a.r -I- j5 V z= o.
Soient (X, \; Z. T) les coordonnées du sommet S. Formons réiiualion du cône iS. C). Si {x, y, '•■■ t) sont les coordonnées d'un (|uelcon<[ue de se- points, on doit pouvoir déterminer À pour (|ue le point
appartienne à la conirpie < 1, c'e-t-à~diie >al!-fa>i-e aux é(|ualic)n:, ( i ). La première de ces équation- nou^ donne ?. ::= — -r ; eu portant dans la seconde, nou- obtenons réqualion du cône
(3) A(7X — jj\f-[- A'(cX — jpZ)^-4- \"{lX — x'ï)-— ».
36/| cii.vi'iïiu: xxix.
Prenons le phm poliiire du point A(i, o. o, o) :
(4) AY( r\ — .rY) + \'/Az\ — xV.) ~ A''T( ZX — ^-T) = o.
Ecrivons (ju'il passe p;ir J). En fiii-iinl ; = o diins i 4), on doit oblenir la seconde é([uiition ( 2 ) : cela donne les deux conditions
T = o, y. AX Y - 3 ( AY^ + A'7J ) — o.
Telles sont les é(| nations du lieu demandé. Elles représentent bien une conique du plan A(ilJ. En écrivant la -econde é<nialion (5) sous la forme
AY(3<X^3Y)4- 5\'7J—o,
on reconnaît ( n'' oOT) (|u"elle est tanj:enle en A et 11 à HA et à IIB.
