Calcule/- iérjualion laii gcitliellc de la qtiadi vjue

( I ) .r- + 2 >- 4- À ;■- + -1 yz. -T- •-> /. .r + 4 / = o.

On pourrait emjDloyer le déterminant (19) du n" 'iVl. Il nous paraît plus simple de procéder par élimination élémentaire. Xous avons à éliminer œ, )', r, p entre les (Mn(| é<| nations

(2) .r4-/.=rp;/, 2y + c+'. = pc, j)/4- /.« = pn', 'l.X 4-2J = p/-,

(3) ax -V vy -\- \v z ^ r ^=10.

Des première, ([uatrième et deuxième équations (2 ). on tire successi- \ emen t

piy — '/.ii)-^'/r

(4) .r — rjU — 1.

- — rj(^i-^r^/.u)~/:—:

Portant dans la troisième é([uation (2) et dans ré<|ualion (3), nous obtenons les deux é(|ualions du premier degré en p :

(v ( r — /• + >. Il )

l'"n éliminant p, on a l'équation cherchée, sous la forme

PROPrilÉTÉS PROJECTIVES DES COIRBES ET SrRFACES DL SECOND DEGRÉ. 365

A, B, C désignant les troi- crochets. Les formule- (4) nous donnent en outre les coordonnées du point de contact du plan (u, p-, w. /}.

Le coefficif-nt du second terme de (7) s'annule pour /.i=o et pour deux valeurs imaginaires de À. dont nous ne nous occuperons pas. Examinons le cas où /. est nul. L'équation i 7 ) se décompose et il semble, par suite, ijue la quadriijue dégénère en deux points (n° iii). ce qui est absurde, car une telle dégénérescence ne saurait convenir à Léquation ponctuelle ( i). Il nous faut revenir a notre élimination. L'équation l5j se réduit à

( 8 j oC/- — 2»f I = o.

Elle e>t satisfaite pour p = o. Ceci nous prouve que les quatre équations dérivées ont une solution commune, qui est donnée par les foi mules (/jj

Donc, la quadrii/ue est un cône (' ). de sommet (0,0. — 2).

Si l'on veut des solutions du sv-tème (■î). (3) aulre< que la précédente, il faut supposer 0 =zr o, donc

L'équation (6) se réduit alors à

Les équations (9) et (10) sont les équations tangentielles du cône. Lor5((uelles sont satisfaites, les formules (4), où p doit être laissé arbitraire, donnent la solution générale du système (2), (3), c'est-à-dire les coordonnées d'un quelconque des points de la ^génératrice de contact du plan ( u, p, (i-, /•) :

/• x^^ou. y^^o-, c =: 0 — / — 2.

o. Troui-er les valeurs de "/. qui font dé^'énérer la quadrique i f ) 't.- u- — t- — 2 i»r — 4 '"■ — ''■ "'" -^ 2 nr — >. /•- = o

et t/oui-er. dans ce cas. ses équations ponctuelles.

<'i Le coefficient de C. dans (-j, est égal au di-fcriruinant de ii). au fadeur pr' ». <)uand il est nul, on a un cOne.

3t)6 rHAPITRF, XXIX.

Ecrivons les ([iialre é(|uatlons dérivées

Elles doivent être compatibles. Des trois dernièies. on lire

Portant dans la première, nous obtenons la condition ti h^jnelle doit satisfaire /. :

€((ualion du troisième degré, dont runi(ine racine réelle est à peu près 2. /j-.

Si /. a cette valeur, lécjuation (i) représente une coni(|ue. Ees coordonnées de son |)lan sont données parles formules (G ), ce (|ui donne pour é<|ualion de ce plan

Pour avoir la seconde é<|ualion de la coni(|ue, cherchons le cône ([ui l'admet pour base et (|ui a son sommet à l'origine. Ses écpiations tangentielles sont (i) et f=:o. En annulant /• dans (i), nous obtenons

/,- a' — c- — 2 ni' 4- '1 //(• z^ 0,

et il nous suffit décrire ré(|ualion correspondanle en .r. y, z (n"377), ce ([lie nous faisons, par evemple, en employant les mineurs du discriminant (n° 'l'il )

ou

(10) . ./■- 4- H». I c- 4- 4 --^ — i'î,2yz^=o.

L'îs é<|MaUons (9) et (10) sont les é(|uations ponctuelles demandées.