Montrer que rë(|u;ilion

représente un cône. (|uel (|ue soit /. et trouver son soniniel. Four (|uelles valeurs de À se décompose-l-il en deu\ plans? Gidculer les é([ualions de ces plans.

5. OuelIe> relations doivent lier les nombres y., p^ y, 0 pour (|ue ré(|ualion

{cf.j: -r- ly -+- y z ■-{- 6)- + .r- — y- — '3 r- -h 4 .r — a r + 4,5= o

représente deu.v plans? Montrer {|ue l'intersection de ces deux plans passe par un ]>oint li\e. (Inlrotluire la variable auxiliaire

P — a./-- -t- p )■ + •/ ; H- 0 ; cf. n» 582. )

G. Soient un cercle de centre <>, deux points Mj et Mo de son plan, Pi et p., leur> polaires par rapport au cercle, r/, et c/y les dislances de Mi

à P.2 et de M, à P,. Démontrer (|ue l'on a — ::;:= ' [tliéorcme de

Salmoti). {Cf. Cliap. XXVIII, l\ercice résolu n" 11.)

On donne une parabole P et un cercle G, ayant pour centre le foyer Trouver l'enveloppe des polaires des points de G par rapport à P.

de P (É. P., 1913.)

8. Trouver Tenveloppi' des polaires d'un point donné cl le lieu des pôles d'une droite donnée par lapport aux cercles inscrits dans un angle donné. Gombien y a-l-il de ces cercles (|ui sont conjugués par rapport à deux points ou deux droites donnés? Discuter leur réalité.

\). Lieu des pTiles des normales à une hyperbole. ( E. P., iQio.)

10. Lieu des points de contact des tangentes menées par un point five P aux coniques circonscrites à un rectangle. Gas ofi P est à l'infini. (K. P., 1913.)

11. Trouver l'enveloppe (les plaii> polaires du point ,P ( 1 , 2, — 1) par rapport aux (|uadri(|ues

x- -i- 2 V- —/.;--}- 2ZX -h \ xy — 2 À- x + 2 y — 2 ?. c + À- z= o.

PROPRIKTKS PROJl-CTIVKS DES COLUBIIS ET SIKFACES DV SKCOND DEGRÉ. 36<)

12. Trouver le lieu des cercle? de conl;ict des cùne> circonscrits aux sphères d'un faisceau à partir d'un point li\e.

13. On considère un ellipsoïde et une sphère concentrique, et l'on prend les plans polaires d'un point M par rapport à co deux surfaces. Ces plans se coupent suivant une droite A.

1° Lieu de A (juand M décrit une droite D.

2° Lieu de M pour (|ut' A passe par un point lixe P. Degré du cône décrit par A.

3'^ Relation géométrique entre deux points M et M' pour ((ue les droites A et A' correspondantes se coupent.

4° Lieu r de M pour que A soit dans un plan fixe FI. Montrer que ce lieu est une courbe unicursale. Enveloppe K de A,

5° Si M décrit le plan IL A est une sécante double de V et réciproquement.

6° Lieu de A i|uand M décrit la courbe V. ou une de ses tangentes.

(Agrégation, 189G.)

(Chatjue droite A e?t perpendiculaire à sa conjuguée par rapport à l'ellipsoïde. Cf. Chap. XXVll, Exercice propo-é n" l'i..)

li. -Mener, par la droite ^=^21'=^ z — 1. les plan> langent^ à la quadrique

15. Montrer ({u'on obtient le quadrilatère gauche le plus général qu'on puisse tracer sur une quadriquo, en joignant deux à deux, les points de rencontre de celle-ci avec deux droites conjuguées.

16. Trouver les équations de la droite conjuguée de la droite

•iX — 0 y ~- Z -r- '2 r:: O^ .T -\- '■'> V — Z — l\ =: O

par rapport à la quadri(|ue

2U7- -i- y- — 3c"- -i- 'iyz — 3 z.r -^ Z,:c -i- y =r o.

17. Les coordonnées pluckériennes tétraédri(|ues d'une droite A étant définies par les formules (i j de l'Exercice lésolu n'^ i du Chapitre XXVII. calculer, en fonction de a. f3, ...,«, les coordonnées a.' , j', .... «' de la droite A conjuguée de A [)ar rapport à la quadrique <> :

A.Z---T- I>j'--i- C---t- IJI- ~ o.

HvAii. — Exercices, II. 24

r.HAPlTUE WIX.

Montrer (|ue si A apparllent au complexe tétraédral éludié dans ll-lxercice précité, il en est de même de A et les deux droites percent la face ABC en deux points conjugués par rapport à une infinité de coniques fixes, lîéciproquement. si ces deux points sont conjuirués par rapport à une conique fixe du plan ABC autre que la section de la qiiadrique Q, les droites A et A' engendrent un complexe tétraédral.

[a'= BC/, l':=D\y. et formules analogues.]

J8. Démontrer le théorème de Dupin (n°3i-Vi pour deux langentrs conjuiiuées à une quadriqne.

19. Soient une conique conjuguée au triangle ABC et M un quelconque de ses points. Les droites MB et MC la rencontrent en /> et c. Démontrer que la droite bc passe par A (Cliasles).