TT - + ?. + 2 H
Il faut connaître le signe du terme constant. Le trinôme en ). a pour racines i4 et — 2. Donc, si X est compris entre — 2 et \l\. on a un hyperboloïde à une nappe ; si ). << — t. ou si}. >■ i4. on a un hyperboloïde à deux nappes ; pour }. zn — 2 ou 1/4, on a un cône réel.
Les trois plans
(i) .X + y—Zz -\- tx = o, — 3rH-5;— 6=0, ^ c + ). 4- 2 = 0
sont trois plans diamétraux conjugués (n° /i-Go); donc, ils se coupent au
CLASSIFICATION DES COLRBES ET SURFACES DU SECOND DEGRE. 07 j
cenlre (]. Los deux premiers sont indépendants, de À; leur intersection D est donc le lieu de ce point. La cote est donnée par la troisième éi[uation; puis, v par la seconde et .v par la première; on obtient ainsi
qui. lors([ue A varie, sont les équations paramétriques de la droite \).
Si l'on appelle Ci et C, les points ([ui correspondent à ). = — 2 et ). =:i4, on voil que les centres d'hyperboloïdes à une nappe sont les points du segment CiC»; les centres d'hyperboloïdes à deux nappes sont les points extérieurs à ce segment; enfin, les sommet^ des deux cônes sont Cl et Co.
On arrivtM'ait aux mêmes résultais en prenant les équations (35) du n° /iOl. >ious laissons au lecteur le soin de faire ces calculs.
La courbe de'contact du cylindre circonscrit parallèlement à la direction (2, I, — i) est la section y de la surface par le plan diamétral conjugué de cette direction, lec^uel a pour équation ( n° 403)
-f- ( .3; — 7. y -\- iz — 2 ) — ( — 3 .V -\- 2 )• + 2 ^ + /. ) = o ou
Four avoir la nature de celle conit[ue, cherclions ses points à rinlini. en coupant le cône des directions asymploliques
(7) X- — ■2. y- -\- 1 z"- -^ !\ y z — 6;.'- + 2.rv = o
par le plan ( n ' VOO)
(8) 3a--— y- 3::-rro.
Kliminons, par exemple, ) ; nous obtenons le faisceau des projections des flireclions asvmptoliques sur zOx :
iix- — 36^-5 -i- 28-'- = o.
Le discriminant est 16. Donc, les directions asymploti([ues sont réelles (') et la conique est une hyperbole.
(') Elles sont dé-lnies par l'iMiuulioii (8) et les suivantes : X — 0. z — o cl 1 1 x" •" I '1 ; = o. Leurs paraiiiélies dirccleuis sont (2. .!, i) el (l'i, (j, w).
ClIAl'ITlli; \x\.
L'ét|ualion du lien engendré parcelle Inijerbole (|uaiid À vijiie s'obtient en éliminanl ). entre (i) et (6); on Irome, loii> calculs faits.
(9) '.\- a-'- + '2. y- -V- 26^--!- '2'\\ z — 66c:c — 2-2.rv
Pour leconnailrc celle ((uadri(|Uf. décomposons en carrés, en prenant successivement pour \ariable directrice r, c, ./• :
Le lieu est uu hypcrboloïdc à une napjic.
Soient Pj et P2 les plans (G) <|ui correspondent à 'l.^^ — 2 ci /. r= j '[. La zone de l'hvperboloïde ci-dessus comprise entre les plans \\ el l'., est le lieu des courbes de contact des li\ perbob»ïde^ (i) à une nappe: !'• zone extérieure correspond aux hvperboloïdes à deux nappes; enliri. lesections par Pi el 1% correspondent aux cônes, ce (|ni prouve (|ue ces sections doivent être des droites, aulrenient dit i\\w les plans l'i et P.> sont taniients à (9).
Nou> allons vérifier directenienl celle dernière |)ropriété, à litre de contrôle des calculs précédents, (|ui sont assez conipii(|ués, (:t aussi à titre d'exercice. i\ous allons nous servir de rc(jualion réduite déduite de (il») :
(II) — — l:^ ;- -^Z-— 16
46 Z -r- 'iO
en posant
(12) 2 1- — j ia+ I ■.
En tirant .r, )•, :; de ce> formule- et porlant dans (6). on ol>tienl ré(iuation transformée
[»"autie pari, récpialion lanyentielie de (i 1) est ( n" 5oO) ( I '1 ) 32 «- — 46 X 1 6 r- + 23 X 4 '"'' — /■' = ^'
Ecrivons que le plan (i3) la vérifie :
TLVSSIFK ATIOX DliS COIRBES KT SI RKACES 1)1 SECOND DEClRi:.
