S H -,;— ZZZ
On retrouve bien les /. des ])lans P, et P^.
Ae dianièlre conjugué A du plan (2) par lapporl à (i) a pour équalioiis (n'^ iGi I
l'^n égalant le< deux piemiei's rapports, on a une équation indépendante df À, qui représente un plan (). lieu de A :
La dioiteAp-t ensuite dans le plan obtenu en éiialant les deux derniers rapport- :
Pour /. ^ — 2 et \'\. on obtient deux droites A, et A^, entre lesquelles se trouvent les dioites A correspondant à des hyperboloïdes à une nappe, etc.
Les points de contact des plans tangents parallèles au plan (2) sont a rinter-eetion de la quadiique (i) avec la droite A. Leur lieu est une courbe r du plan Q, dont la -^ei^onde équation >'obtient en éliminant / entre ( i) et (17) :
— 2 .ry 4- 1 0,r — 4/ — i 2 3 -h '1 = o.
La courbe L est donc une conique. Clierchons -on genre. Le> directions asymplotiques ont pour piojection sur- vOr
'- 1 7.V — 9-3)-— 2 V- + ioc*-h 4j; -f- <':,»' — i)=-)(y — 9- ) = o
Le di-<iiniinanl est — 384: donc la coiirhe V est une ellipse. i'Iierehona son centre. Il est à l'intersection du plan Q avec le diamètre
o;*) (IIAIMTHK \XX.
conjugué de ce. plan par rapport à (18) (n" ^iGV)
"7 Çfj: -+- 2 y -h ioz — ()
En résolvant le système linéaire (i^)), (19), on trouve
j;':=0,l<), yz= — O,0O, ^ = 0,9'î.
•2. Discuter la nciLuie de la rjaadrùjue
( i) {ax H- Zy H- y :-Y -^ z{ax + by) -\- ax 4- v y + wz + /• =; o.
Les coeflicienls étant tous littéraux, la métliode de la décomposition en carrés parait devoir donnri' de^ calculs compliqués. Nous allons d'abord chercher le genre.
Le cône des directions asymptoti(|ues est toujours réel, car on en ajjerçoit tout de suite dcuv généiatrices réelles, intersections du plan
y.x^^y-^yz — o
avec les plans ::=^o et «.i- 4- Z> >' = o. Voyons >'il peut se décomposer. Pour cela, il faut que les trois formes linéaires ax 4- {SjK 4- y :, -:, a.r 4- by soient dépendantes, sans quoi les termes du second degré seraient une somme de trois carrés indépendants. La condition pour qu'il en soit ainsi est
Ne poussons pas ]»!us loin, pour Tinstant, la discussion du genre et commençons notre tliscussion générale.
Fri:mii:rcas '.y.b — 3(7^0. — La qnadrique est du «e/i/-e /<jyjer^o/o/V/e. liemarquons maintenant que le plan ^ r^ A donne un^i section paraboli(|ue. Pour une valeur convenable de h (qui sera la cote du centre), cette section doit se décompo^er en deu\ droites paiallèles (section |)ar un plan asymptote). Suivant que ces deux, droites sont réelles, imaginaires ou confondues, la quadiique est un liyperboloïde à une nappe, un liy|>erboloïde à deux nappes ou un cône.
Inteiprétons ceci analytiquement. Posons, pour abréger l\crilure, y.x -j- ,3/ 4- y h =/>. La section par le plan z =^ h n pour équation
p- 4- h (ax 4- b y) n- ux ~\- vy 4- h7/ 4- /' =^ o.
CLVSSIFICATION DKS COL'RBKS lil" SURFACES DU SECO>fD DliGRE. 377
Pour quelle se décompose, il faut que la droile roprésenlée par les lermes autres que jï- soit parallèle à /> =: o. Cela doniit^ la condition
ha -Vu Itb -\- V
(3 11 en tirr
ah — «Y/ y. h — Sa'
en appelant o la valeur commune des deux, rapport-. L'équation (3) s'écrit alors
( J ) p- -i- op -h { n; — py ) // -f- /• = o.
Kile représente deux droites, dont la condition de léalilé est
l'j) p- — *[('"' — p-/ lA -^ /■ I > G,
où il suifit de remphicer o et li par (4).
En définitive, suivant <jite le premier minihre de (0) est positifs négatif ou nul, la i/uadri/fue est un II,, //// \\y ou un cône.
r3i;i'\iÈ>iE CAS : y.O — ^a = o. — • Supposons d'aboid que y. et .3 ne soient pas tous deuj- nuls. Nous pouvons alors poser a z= ky.y b =z A'j3. L'équalion du cône des directions as\ mptotlques s'écrit, en posant y.x -{- 'by rr: <y,
I'"ile est lioniogéne en :;, i/ et représente deux plans, dont la condition de réalité est
Suivant que le preaiier nieuihie e>t jiositif, néL;atil ou nui, la ([uadrique est du genre paraboloïdc liv[)erbolii|ue, [im aboloïde elliptique on cylindre parabolique.
Laissons de côté, pour le moment, la dernière liypolhè-e. [*our distinguer si nous avons allaire ii un paraboloïde ou à un cylindre. coup<uis par la droite
qui est parallèle à I intersection des plans diiecteuis. Si la quadrique est un paralioloïde, nous devons avoir un }toint de rencontre à distance linii'. Or, si l'on lient compte dt; (9), l'équation ( 1) se réduit à
rj-t-/'=o.
Il faut qu'elle rencoiilie la droite y = o, ce qui exige ti^j — vv. ^ o. Dans celle liypollièse, la quadviqiie es/ un \\\ on un Pi;, suivani quon « (8) ou riiiégaliié conlraire.
Si «j3 — «oc 3= o, la surface esl un cylindre hyper bidique ou ellipliquc. 11 se décompose en deux, plans sécants, s'il n'y a qu'un seul plan z =z h qui coupe suivant une droite double. Or, si l'on tient compte des liypoihèses actuelles, l'équation (3) esl du second degré en p. En éciivanl (|u'elle a une racine double, on a une équation du second degré en // ((|ui donne les plans tangents parallèles à .vOy). En écrivant (|ue cette é((uation a, à son tour, une racine double, on ol)tient la condilion dr liccotnposilioii en deux plans sécants :
(il) ni- y- — //Mc(/. -H 2y) + u'- -i- /■/.{ /." -i- ^ "/ j = o.
11 resl<' à examiner les cas /. i= o et \-/ -+- /. = o, puis a^^ ^=rzo. Nou^ laissons au lecteur le soin de le faire, celte discussion devenant fastidieuse.
;>. ^h/e rcprésenle l'équaliim langenlielle
(l) U- 'r'îllV — f'+'i^/iV ()CiV + iv-= o?
Clierclions les asymptotes. L'équation tangenlielle du centre est
( 2 ) 2 U — 3 (• 4- II' r=: o.
\\n tiiaiil ir et |»ortanl dans ( i ), on a l'équation (3) 3 //- -h lo r- — 1 'i uv = o,
(|ui. a\ec (2), détermine les asymptotes. Le tlisciiminant de (3) esl li); il esl positif. Donc, les asymptotes sont réelles-, la cmique est um hypeibolc.
h. Que représente rcijuation tangcn ticlle
Chercher le centre. Montrer que le plan diamétral conjugué de O >' passe par une droite fixe, quand 1. varie.
Décomposons en carrés, en prenant /', puis u , puis v pour variables directrices. On trou\ e
(2) (/■ + 2« — (•)-— {w — U)- — T7 {?>^' — 2/n- + I A — TT 1 U-z=z O.
ci.vsï^iricATioN ui;s commis i;t si iuac.ks ul second dkc.hi':. Sjc^
Si Ion piciid les poinls f ^- i ti — c =:r o. ir — // = o, oc — 211 =0 comme origine, |)oinl ;i l'inliiii sur Or et |)oinl à l'infini biirO:;, sans changer le puinl à linlini nui- ( ) j\ un .1 niic ('([nalion rédnitc de la forme
1;-- \-— \V^+ /. — - lU-:rTO
Si /. — TV >— o, lVM[iiali()ii |i()ncUiflle correspondante c^l (n" .'i.'iO)
Snivanl (|nt'/. — ;- c-l positif on négalif, la surface o>l nn livpciboloïdc (I une nappe ou un cllipstudc.
Si 'hzz:z -, ré(|ualion (o) nous montre (|ur nons avons alVaiie a une clUpar. l-cs coordonnées de son [)!an annulent 1rs trois cairés :
/• lu — (• -1^ o, ir — u z^ o, a i" — 2 u r- o :
d Cil 1 on lire
K' ZZZ - U . KV r U , /• =-— — - u ,
L éfjiialion dn plan de l'ellipse est d(jnc
l'<u.» tons les cas. 1' ('(jUdlion tan ^cn licllc du ccnlic ot (5) /• -h 2 // — t' — : o.
Ses coordonnées sont donc 2. — 1 . o.
Les coordonnées du plan diamétral conjugué de 0>' s'oblieunenl en écrivant (jue le pôle de ce plan est à linfini sur Oj', ce qui donne les trois équations
/■ iu — ^^ r ^ o, /. // + ir 4- 2 /■ : - o, il — n ::::o;
d ou Ion lit (•
U équalinn du plan dianiclral e>t donc
58o «;iiAi'ni\E n.xx.
Loi'S(|ue I. varie, ce ])lan passe par la droite fixe :
1. Reconnaître les coniques suivantes, trouver leurs centres et écrire leurs équations réduites :
x*- ^ [\xy -\-^y'- -^ ix — 2 »• — /. = o. ■> x- -h 8.rj + 3 K^ — 6,r — -y -+- À — . o, 3 .r- H- xy — 'i.y''' — .r — j^ -)-/. = o,
x- + ^^xy -h 9 j2 — 5 J7 -h y + 7. = o, 4 -£■- — 12 xy -f- gv" + (3.r — 9 K -;- }. := o.
•1. iMème (|ue5tion pour les quadriques :
\ox- + •''>,v-+ 2 -.- — lyz -f- 0^.r + \xy -4-2x4- 2 y H- 2 .3 H- À =: o, I o.r- -h 3y- H- 2 1';: -h (j ex -I- 4 .rj' 4-2x4- (3 v' — 234-/. = o,
X- 4- 5 V- 4- C^ -iyz 4- 4^'^/ 4- 4 •<? — '^y 4" 2 - -t- À ^:r. G,
2 x^ 4- 5}- 4- -:;'' — 2j>'-: — 2 ex 4- 6xr 4- iy 4- 2 e 4- À ^= o,
3j--- — z'- -r~ xyz 4- 2 ex 4- 2 xy 4- 4 -^ + 6/' — 2 e 4- A --= o,
X- 4- Ay"' 4- -3- — [\yz — ■ 2 ex 4- 4 -^'J — 2 x — 4/ + ^ ^ + ^- ^^ o,
9X-4- J" 4- e- — ■■'.je4-6ex — 6xy 4- 5x — y -\- e 4- ?> ^ o.
