tang
cos— — 2 sin -
2 cos r sin —
Tel est le'coefficieiit angulaire de la bissectrice considérée. L'équation^([5{) représentera celte bissectrice, si l'on a
. « - cos 2 sin —
3 cos 9 — sin9 — A 2 2
cos9 + 3sin9 4-3?> 9 . 9
2 cos H SID-
ou
5â(cos sin-\=: (2COS H sin - I (3 cos9 — sin9)
-i- ( 2 sin cos-j( cos 9 -t- 3 sin 9);
d'où
[9 9 . 5 . 9 cos -(cos 9— sin 5) h- sin -(cos 9 H- sin 9) cos sin -
cos sin- "COS sin —
V équation cherchée est donc
(12) a'(sin9 — 3cos9 + i)
H- j(cos5 + 3 sin9-i- 3) + 2(co5 9-(- 8 sin9 — 7) = o.
L'angle polaire a H H -7 4- ^t: de la bissectrice issue de C se déduit
CHAPITRIi VI.
(le l'angle polaire île la bissectrice issue de B par le changement de Q en — ^ — 71. D'autre part, le même changement échange AB et AC. Donc, on aura Vèquation de la bissectrice issue de C en changeant 0 en — B — t: dans (12), ce <[ui donne
(i3) .r(sinS J- 3cos0H- i)
+ r(3 sinô — cos9 + 3) H- 2(8 sin9 — cos9 — 7) = o.
On peut arriver plus rapidt;ment au.v é(|ualions (12) et (i3) en remar- (juanl ([ue la bissectrice, issue de B par exemple, est le lieu des points équidislanls de BC et BA, les normales à ces deux droites étant orientées toutes les deux vers l'extérieur (ou vers l'intérieur) du triangle. Or, le premier membre de (1) représente le produit par y/io de la distance d de BC au point M(^, y), cette dislance étant comptée positivement suivant le vecteur (i, 3) (n° 66), ([ui est, d'après la figure 6('), extérieur au triangle. De même, le premier membre de (3) représente le produit pary/io de la distance d' de BA au point iM, cette distance étant comptée positivement suivant le vecteur (sin 9 — 3cos^, cosô -h 3 sinô), qui est, d'après la figure 6(') et à condition de remarquer que la projection sur O )'
est positive (o <;$<; — )) dirigé vers l'intérieur du triangle; Pour
que M soit sur la bissectrice issue de B, il faut et il suffit ([ue l'on ail d z^ — f/', ou d -\- d'^^o, ou d\J \o -\- d' \/ \o ^=. o^ ou (1) + (3 ) = p. On retrouve bien l'équation (12).
On verrait de même que la bissectrice, issue de C, a pour é([ualion (i) H- (4) = o, ce qui est (i3).
Vérifions, pour terminer, (jue les bissectrices sont concourantes. En portant (2) dans (12), on obtient le p du point de rencontre de AA' avec la bissectrice issue de B, soit, après un calcul facile,
, , , I — 2 sinô
('^) P^ i + s.ng-
Cette expression ne change pas quand on échange 9 en — ■ B — tz; donc, c'est aussi le p du point de rencontre de AA' avec la bissectrice issue de C. Cela prouve bien que les trois bissectrices se coupent au même point, lequel a pour coordonnées
, ,, 2 — sin9 ^- - --"fl
I + sinô *^ " I + sin9
(') On peut aussi, sans regarder la figure, remarquer que le point G se trouve dans la région négative, car le résultat de subslilution de ses coordonnées dans (i) est négatif (n" 71). Remarque analogue pour cl. -
LA DROITE EX GÉOMÉTRIE PLANE. 5'î
•2. Calculer la surface du triangle dont les côtés ont pour crjuation
!A ^ -i- B V — C =0, A"^-hB"j + C"=o.
Première méthode. — Ulilisons la formule (72). du n° 82. Soient :£'i,ji les coordonnées du sommet M qui est à rinlersection des côtés D' et D". On a
d'où Ton tire (l. I, n° 289)
en dé>ignant par des petites lettres le> mineurs du déterminant
ABC
De même
cl ou
abc a' b' c' a" b" c"
Mais le déterminant \\a b c \\ n'est autre (|ue le déterminant adjoint de A; il e-t donc égal à A- (t. I, n° 287). Finalement, nous avons
