hiscuter la nature de la (pia<lri<|ue de llCxercice
19. Trouver la nature, le centre et les asymptotes des coniques représentées par les é(|ualions tangentielles suivantes :
■>. //■- 4- .") iiv + r- — •'. inv — 4 ttr -h- ?ti\'^ = o,
//r — ■>. in\' + 4 t'O" ■->. •V- :7=: G,
3//^ — .'>('-— ><iiv + 1 i/w — ■'. rir + ir' :^ o, «^■4- 3/M'+ r- — .W/tr + 'm'H' rr: o, j. u'^ — '\ ('- — - uv -\- ir ( 1 II -\- r ) = o.
CLASSlinCATION" DI.< COIRHKS KT SlIlFACtS I»l SKCOND l>K(;ni:. 38)
'10. <hie représenlenl les é((iialions laiigenlielles
- Il- — ■>. r- — .'m- — 4 iir — 9. inv — :>. uv + i ■> ///• -f- \ /- = o,
(// + i> — <ïO".~~ (" + '.M')! (• -r 3tr) 4- '/.r'-zzno, /. Il- -+- 81"- — 8 tn- + 8u// — i4 "<■ — j ni — 9. rv -+- 4 nv — /--= o,
3 II- -+- iiv -\- nv zzz o, 9. Il- -+- 3 r- -r 3iv- 4- ■.» /ni' + •> //(• -i- 8 (•(»• -i- r{ii + '><• — hp) := o.
//■- 4- 4«ï''+ 4'/<'' -T- r{ii — (') = o, //- — r-+ '/.w{ii — f -H /. /■ ) 4- /Il (À -f- 1) 4- /■»•(/. — ') + /./•-= o.
Trouver les centres.
nir.F.CTlONS PniNCH'ALES ; KOUATIONS RÉDriTKS EN COORDONNÉES UECTANGILAUIES.
EXERCICES RÉSOLUS
1. Trouve?' le^: ares, les soinniels et V équation réduite de la quadrique
(i) I o^^ H- 5 J" —2 3- — lyz + ô^cT H- 4 xy + 2 .c H- 2/ H- 2 ; -h i =;: o. Ilccheiche de< directions principales. - — L'équalioii en S esl I o — S 2 3
ou
(3) S^— ijS-^+ÔGS — 25 = o.
Les racines sont
S [ = o . 'i 2 , So rir 5 , 07 , 83=11,51.
Pour chacune cl elles, les paranièlres directeurs de la direction principale correspondante sont, par exemple, les mineurs de {■:>.] lelatifs aux éléments de la première ligne, >uit
(4) S2-7S + 9. '^S — 7. 3S — 17. Cela nous donne le? valeurs sui\antes 1 ' > :
r»o,5 iG ijj'^
(') F'our (»V, les expressions (4) donnent peu de précision, car elles conduisent a de petites valeurs, obtenues comme dillérenccs de grands nombres. Nous leur avons substitut- les mineurs relatifs ;i la deuxième liarne, soit
S-— l;>S-^I., — S-hiG.
ÉQUATIONS RÉDUITES EN COOKDONNÉES RECTANGUi.AlRES. 385
A titre de contrôle, on pent vérifier l'orlliogoiialité des trois directions deux à deux.
Centre. — Lh surface e-^t un ellipsoïde, puisque les trois racines sont de même signe. Elle a di)iic un centre unique, dont les coordonnées sont données parle système (n° 4-61)
loj: H- 2y -t- 3 z H- I =r: o, ax H- Sy — c + i = o,
?>x — V +23 + 1 =zo; d'où Ton tire
En menant par ce jioint les parallèles aux directions principales trouvées précédemment, on a les axes.
Equation réduite. — Si Ion porte l'origine au centre, le terme constant devient (n" i62 )
L équation réduite est donc
(6) o,^2X-^+5,o7Y^+ii,5iZ2— 1 = 0.
Les longueurs des demi-axes sont - •• — i soit
Vo,4i v'5,07 y/i I ,5i
Les sommets s'obtiennent en portant ces longueurs sur les axes de part et d'autre du centre. Pour avoir leurs coordonnées, il faut calculer les cosinus directeurs des directions principales. Ceux de OX, par exemple, sont 0,3^6; — 0.342; — 0,874- On en déduit les coordonnées des deux sommets de cet axe :
0,6 =t r ,54 X 0,346; — 0,8 =fi 1 ,54 X 0,342;
— I .8 zp 1 ,54 X 0,874, soit
pour le premier sommet et
pour le second. On trouve, de même, les coordonnées des sonimels de OY Haag. — Exercices., IL 2.5
386 CIIAPITHE XXXI.
et de OZ :
(o,65î; — • I ,'2oi ; ^ i ,618), (0,548 ; — 0,899; — r ,982); (0,874; — 0,7 '^7; — • :7^o), (0,326; — 0,873; — I ,880).
2. Trouver l'axe, les plans principaux, le sommet, le plan langent au sommet el l'équation réduite du paraholoïde
Axe. — On peut r(>l)leiiir facilement, s:ins résoudre l'équation en S, parla mé ho le suivanle. iN<iiis connaissons sa dlteclion, qni e-l la droite double lin cône des diifctio is asvrnpiotiqnes. 11 suffit de considérer les plans perpendiculaii es el de prendre leur diamètre conjugué {u° h-ll).
La direclioii de Taxe silisfaiL au\ trois équations dérivées des termes du second degré :
dont la compatibilité prouve f|u'on a bien afTaiie à une qnadriqne du genre paraboloïle. On peut prendre pour paramètres directeurs : — 2, I, 1, el comme plan peipendiculaire :
Le diamètre conjugué de ce plan, c'est-à-dire l'axe cherché est défini par (n° k6ï)
la valeur commune des trois rapports étant obtenue en mulliplianl, haut el bas, le premier rapport j)ar — 2, le second par 1, le troisième par i et ajoutant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Sommet. — 11 est donné pai' le système (i), (3).
Remarquons que l'équalion (1) peut s'écrire, grâce à lidentilé d'Euler,
En tenant compte de (3), elle devient
ÉQUATIONS RÉDUITKS EN COORDONXKES RECTANGULAIRES. 887
Nous n'avons plus qu'une équation du premier degié en x, y, z. En la combinant avec les deux premières équations (3), par exemple, on trouve les coordonnées du sommet :
Plan tangent au sommet. — C'est le plan parallèle à (2) mené par le sommet. Son équation est donc
Directions principales. — Pour trouver les plans principaux et l'équation réduite, cherchons les directions principales par l'équation en S. Celle-ci s'écrit
ou, après suppression de la racine nulle,
dont les racines sont 82= 3,62, 83= — 6,62.
Prenons comme ptraniètrcs directeurs les mineurs de (7) relatifs à la troisième ligne, cesl-à-dire
(8) 8, 4(S — I), S(S-i)-4; nous obtenons les paramètres des directions 0\ et OZ :
8; 10, 5; 5,48 et 8; — 3o,5; 46,5,
auxfjuels correspondent les cosinus
I.es cosinus directeurs de OX sont ensuite h d' — c' b" , c' a'^ — a c" , a'b"—b'a", soit
quantités proporlionnelles aux p;iranietres directeurs — 2, i, i trouvés plus haut.
Les équations des plans principaux sont obtenues en prenant les plans
388 CHAPITRK XXXI.
diamétraux conjugués de OY el de OZ, soit
8(^ + 2/ + i) + io,5(2^+/4s + 5) + 5,48(4.v — 4^ + 4) = o, 8 ( ^ -f- 2 y H- I ) — 3o , 5 ( 2 ^ -t- 4 s H- 5 ) + 46 , 5 ( 4.r — 4 * + 4 ) = o ou
(il.
Ces deux équations peuvent être regardées aussi comme les équations de l'axe.
Pour trouver réqiialion réduite, appliquons la mélhode du n° 475. FaiïOiis d'abord tourner les axes. Les termes du second degré deviennent
Il faut calculer directement ce que deviennent les ternies du premier degré :
X{2a -f- lob + 8c) + Y(2a'+ ioè'+ 8c') + Z(2«"+ 10//+ 8c") ^ — 5,72X + ii,55Y + i,48Z.
Notre nouvelle équation est donc
(12) 3,62Y2— 6,62Z2— 5,72X + ii,55Y + i,48Z:=o
ou, en décomposant en carrés,
De sorte (pie l'équation rrduite s'obtient en portant l'origine au point (— I ,60; — I ,59; H- o, 1 1) el s'écrit
On aurait pu la déduire sans calculs de l'équation (12). La décomposition en carrés ci-dessus a eu simplement pour résultat de nous faire connaître les coordonnées du sommet par rapjiorl aux axes OXYZ. On obtient les coordonnées de ce point par rapport à Oa-yz par les formules du changement de coordonnées :
.r^ = — 1 ,60 a — 1 ,59a' H- o, 1 1 a" =r — 2,19; /o = — i ,6oh — 1 , 59 6' + o , 1 1 6" := — o , 58 ;
On retrouve sensiblement les mêmes valeurs que plus haut.
