ÉQUATIONS UÉDUITES EN COORDONNÉES RECTANGULAIRES
3. Calculer les coordonnées du sommet de la parabole (i) )-^ — ;:a^- = o, x^z — 2y = i. (E. P.. 191 3.)
Menons, par Torigine, un plan parallèle au plan (i) :
Il coupe le cône suivant deux génératrices confondues avec la droite
Il e^t donc tangent au cône et, par suite, la conique praposée est bien une parabole, dont l'axe est parallèle à la droite (3). La parallèle à la tangente au sommet menée par l'origine a pour équations
.r 4- J H- « = O, X -\- Z — 2/ zz: o
ou
L'a\e de la parabole est le diamètre conjugué de celte droite; il se trouve dans le plan diamétral conjugué de cette droite par rapport au cône, lequel a pour équation
L'axe considéré est donc défini par l'équation (5) et la seconde équation (i) ou encore par
Il coupe le cône en un seul point, de coordonnées ( y> — 7' 7 )' ^^^^ ^^^
le sommet demandé.
k. Lieu des sommets des cônes de révolution passant par Vellipse E.
Soit P(a, [3, 7) le sommet d'un de ces cônes. L'équation du cône correspondant se forme par la méthode générale du n" 376, ce qui donne
(xy — az)"- (y/ — ;3:;)-^ ^^2— o
Sgo CHAPITRE XXXI.
OU, en ordonnant et ne conservanl que les termes du second degré (n°4G9),
I — 2 ^7^ vz ^ zx =. o.
L'équation en S s'écrit
ocy «2
Elle doit avoir une racine double (n" 479), ce qui exige que tous les mineurs de A(S) soient nuls (u° 474). En annulant le mineur commun aux deux premières lignes et aux deux premières colonnes, on a
Prenons, pour fixer les idées, 5= 7-- En annulant les autres mineurs,
on voit sans peine qu'on obtient les deux seules conditions
qui constituent les équations du lieu et représentent une hyperbole II du plan des zx^ admettant pour sommets les foyers et pour foyers les sommets de E {cf. n° 524).
L'axe du cône est perpendiculaire au plan des directions principales
correspondant à la racine double S = -j^ • Ce plan a pour coefficients, par
exemple, les éléments de la pren)ière ligne de A(S), soit
I \ c3cy
On en conclut que les paramètres directeurs de l'axe sont -/-, o, — •
Cet axe est donc dans le plan des zx et y admet pou]- équation
ÉQUATIONS RKDUITES EN COORDONNÉES BtXTANtU LAIBES. 391
OU, en tenant compte de (2),
y.x yz
ce qui est l'équation de la langeiUe en P à H (cf. [oc. cit.).
En prenant S =:r -^j on obtiendrait comme lieu une ellipse imaginaire du plan des js (cf. loc. cit.).
5. Trouver les aœes et sommets de l'hyperbole de r Exercice résolu n° 3 du Chapitre AAX. -
Soient (</, r, Kv) les coordonnées d'un des axes. Son pôle a pour coordonnéçs homogènes (n° 4i3)
Exprimons qu'il est à l'infini dans la direction perpendiculaire à l'axe: nous obtenons les deux conditions
« -h (' + 2 u-" u — V — 3 iv ( 2 ) 1U — D {' -h (V = o, = •
Eliminant w, nous obtenons l'équation
('■- — «'-t- uv == o, qui nous donne
Portant dans la première équation (2), nous avons ensuite
ir = 3 r — 2 << = - (— 7 =t 3 \JV). 2 ^
I^es équations des deux axes sont donc
Les tangentes aux sommets sont obtenues en combinant l'équation (3) avec l'équation de la c()nif|iie, ce qui donne, en prenant, par exemple, « = 2 et c -^ — I ±: y/s, (5j «'2+ 2tr(7 =p 3 v/5) -h6(±: v/5 — i) = o.
Les racines ne ^ont léellt'sj que si Ton premi les signes inférieurs devant y/5; elles ont alors pour valeurs -t- 0,7 et — 28, i. 11 serait maintenant facile dédire les équations des tangentes aux deux soinniels réels. Si Ton veut les coordonnées homogènes de ceu\-ci, il suffit de remplacer, dans (i), u par 2, v par — i — y^, et w par 0,7 ou — 28,1, ce (jui donne 0,2; 3, i; I4 ,4 ; o" .27 = o,oi4 et j' = 0,216 pour le premier sommet et — ^7 , 4 ; 89,5 ; — i4,4 ou ^ =: 4 et jk = 6,22 pour le second.
La longueur de l'axe réel est la distance des deuv tangentes, soit
On peut vérifier que c'est aussi la distance des deux sommets.
EXERCICES PROPOSÉS
1. lin'ariaiits, — Les rapports des racines de l'équation en S d'une quadrique (conique) déterminée rapportée à des axes rectangulaires quelconques sont des invariants. Quelle est leur signification géométrique ? Toute relation homogène entre lesdiles racines est invariante.
Cône capable cViin Lrièdre trirectangle inscrit. — Pour qu'on puisse inscrire dans un cône du second degré un lrièdre trirectangle, il faut et il suffit que la somme des racines de son équation en S soit nulle et, si cette condition est remplie, il y a une infinité de Irièdres trireclangles inscrits dans le cône.
(S'appuyer sur les propriétés d'invariance ci-dessus, en prenant pour axes des ^ et des y deux génératrices rectangulaires du cône. Cf. n° i97.)
Quelle relation doit-il ^-xisLer entre les coefficients tangentiels d'un cône du second degré pour qu'il soit capable d\in lrièdre trirectangle circonscrit ?
(Faire une transformation par plans polaires réciproques par rapport à la sphère .37^-1-/^-1- S" -t- I =:o.)
2. Trouver les axes, sommets et équations réduites des coniques de l'Exercice proposé n" 1 du Chapitre XXX.
