INTERSECTION DES CONIQUES ET QUADRIQUES
EXERCICES RÉSOLUS
1. 7 romer les points d' intersection des deux coniques (i) ^2|2j2 — 4^H-2j = o, -îxy ^ ir=o.
L'éf]ualion en À est
OU, en développant el ordonnant,
Elle na quune racine réelle, qni est approxinnalivement — i,74- On peut en conclure de suite que les coniques proposées ne se coupent qu en deux points réels ( n° i8o). Four les obtenir, cherchons les deux droites de décomposition de la conique
+ 2 ). xy -^ 2/- — 4 -^ -I- 2 r -h À = o,
\ ayant la valeur ci-dessus. A cet efi'et, déciomposons (3) en carrés (n» 43U); nous obtenons, en rennarquant que le lerme constant esl nul, en vertu de (2 ),
\in rennplaçanl >. par sa valeur, cela nous donne les deux droites
En V remplaçant x par ■» on obtient les équations aux y des
points d'interseclioii
CHAIMTRK XXXII.
j + 5,52/- — o,8Sy = 0, I + 1 ,44/'+ 8,88/ = 0. La seconde seule a ses racines réelles : (6) Ji = — 6,o5, y-2^= — 0,11.
Pour calculer jCi, nous porlons r, dans x =z — — , ce qui nous donne
.r,= H-o,o83. Pour calculer ^r,, il est plus précis d'utiliser la seconde
équation (5) ; on obtient ainsi jTj^ -h 4 ,36.
Il n'y a qa^un seul pôle double réel, intersection des tlroites (5), ou
encore des droites obtenues en annulant les carrés de (4). Le deuxième
de ces carrés donne / z= 2 ,4i et le piemier donne ensuite o^ = 6, 20.
•2. Soient deux points A et A' et un cercle C, tangent en A à AA'. Trouver les coniques tangentes à ce cercle et admettant kK' pour axe. Discuter leur réa'ité et leur nature. Trouver le lieu du point de contact, quand G varie en restant tangent en A à AA'.
Prenons AA' pour axe des x et le milieu de AA' jjour origine. Posons AA'^2^. L'équation générale des coniques admettant AA' pour ave est
ky''
k étant un paramètre arbiliaire.
L'équation du cercle G est, d'autre p;n t, de la forme
lax — 2 3 y -h «'^=: o.
Exprimons que les coniques (i) et (2) sont tangentes, en écrivant que leur équation en 1 admet une racine double ( n° 4.83). Gette équation est
l' ka"- + >.V/2 4- / j32 ^ (32 — o.
Annulons les dérivées par lapport à I. et par rapport à la variable
ou
INTERSECTION DES COMQLES ET QL'ADRIQL'ES. 897
d'Iiomogénéité (t. I, n" 227) :
(4) Zka^)}^ian.^ (î'^o,
.Vnnulons enfin le résultant de ces deux équ;ition> du second degré (t. 1, n'> 23i) :
(6) cr^^Hç^k - if~- 4«-5^(3A-;3-— rt-^)(3rt2— ,5-^) = o ou, en divisant par 3a^j3- et ordonnant par rapport à A,
(7) 27rt2;3V.-2— 2[52(9rt2— 2^-)A4- «2(4^,2 j32)-=o.
Cette équation du secouai degré donne les valeurs (le k correspondant aux- coniques cherchées^ lesquelles sont donc au nombre de deux.
Pour qu'elles soient réelles, il faut et il suflU (|ue k le soit, c'està-dire qu'on ait
P^(9^^-2(3^)^— 27«M4«— i3^)^o on, en ordonnant et divisant par 4,
(3-— 3rt'')^>o.
En défmiiive, les deux coniques sont réelles si 'p '^ a \J'i, en supposant, pour fixer les iilées, {3 >> o.
Le genre de chaque conique e-ii indiqué par le signe de k.
Si (3 > 2«, les deux racines de (7) sont de signes contraires; on a une ellipse et une hyperbole. 5< 3 < 2 a, les deux racines sont positives, on a deux ellipses.
Remarque. — Si l'on ^ubslitue /." = 1 dans le premier menobre de (7),
na- 2S-
on obtient fi(a' -\- 3^)*, D'autre part, la demi-somme des racines -r—
esl toujours plus petite que 1. Donc, les deux racines s(jnl toujours inférieures à 1 . Il s'ensuit que, lorsque la conique est une ellipse, AA' est son petit axe.
Le point de contact de la conique et du cercle C est le point double de la conir]ue dégénérée fournie par la racine double de (3), c'està-dire parla racine commune à (4) et (5). Ses coordonnées satisfont aux trois équations dérivées
(9) j(i-hA>.)-î3=o,
La cornpalibililé de ces trois équations entraîne d'ailleurs Téquation (3) et. pir suite, l'une des équations (4) et (5), quand on suppose que l'autre est vérifiée. Il résulte de là qu'on peut avoir le lieu du point de contact en éliminant /r, )., j3 entre (8), (g), (10) et l'une ou l'autre des équations (4) et (5). Si l'on observe que k ne figure pas dans (8), (10) et (5), on est ramené à éliminer X el [3 entre ces trois équations. De (8) el (10), on tire
^ a — ./-• „ a{x — aY
xy
ct^ ( x — ^V^ Portant dans (5), on a réquallon du lieu., soil, en divisant par ; ,
(il) xy'^-\-{.'c — a)^(.r 4- 2a) r= o.
Si l'on porte l'origine au point A, cette équation devient
On reconnaît une cubique circulaire, admettant A pour point double isolé, Oy pour asymptote et le symétrique de O par rapport à A' pour sommet.
Cas où la conique est osculatrice au cercle C. — Ce cas est obtenu lorsque l'équation (3) admet une racine triple ( n<* 485), c'est-à-dire lorsque les équations (4) et (5) ont mêmes lacines, ce qui exige
Cl"- \ ^^=^ = 3' c'est-à-dire
PizzzaJ'è, k = -.
Ce cas est précisément celui où l'équation (7) a une racine double,
d'ailleurs égale à — <. c'est-à-dire le cas où les deux coniques tangentes
à c sont confondues. La racine triple en X est alors égale à — 3. Les coordonnées du point de conta'U, données par (8) et (9), sont
3. On donne une conique S et l'on considère un cercle variable G tangent à S en un i>oint fixe O. On demande te lieu du point de rencontre V des tangentes communes à S e/î à C. (É, P., 191 3.)
