INTERSECTION DES CONIQUES ET QL'ADRIQL'ES
Prenons le point O pour origine, la tangente en ce point a S pour axe des X et la normale pour axe des /. L'équation tangenlieile de S est de la forme
( I ) A «- -h 2 D M tV -I- 2 K (• W -t- F (^-^ := o.
Celle d;i cercle C est, en appelant 3 rordoiinée de son centre,
(Pt^ + i^^)-— (32(a*H-r2) = o ou
(2) 3-«"^ — 2j5iii' — 11-^ ^o.
En éliminant «- entre les équations (i) et (2), nous obtiendrons une équation renferniant w en facteur et repré.-entant, par conséquent, un couple d'ombilics comprenant iorigine. L'autre on)bilic sera le point P. Eu faisant le calcul, on obtient ainsi pour éqiaUim tangenlieile de ce
point
On en déduit ses coordonnées cartésiennes
En éliminant j3, ce qui est immédiat, on obtient l'équation du lieu
(4) (Dy— E^)- + Aj7(F^ — 2D) = o.
Sous cette forme, on reconnaît une conique F tangente en O à Oy et
tangente à la droite a:=:-— au point A| -r^ , "f" )" ^* '^" remarque
DE
que ^5 - sont les coordonnées du centre de S (n° 468), on voit que le
r r point A n'est autre que le point diamétralement opposé à O sur S; de
plus, la conique F est orthogonale en O et en A à S.
On a des renseignenienis encore plus complets en comparant (4) à
l'équation ponctuelle de S, qui est
(5) /=E^r^— 2DE.2-j-Fj-(D^— AF)-i- 2AEj' = o. Léquation (4) s'écrit alors
(6) /+AF(x== + j-— 2 -^ — 2 -/ l=ro
Elle montre que la conique F passe par les quatre points d'intersec-
lion de s avec le cercle concentrique qui pas-e par O. Autrennent dit, le lieu demandé est une conique coaxiale à % et orthogonale e/z O à S. Dans le cas particulier où F =: o, c'esl-à-dire où S est une parabole, r est une parabole de même axe et orthogonale en 0 à S.
i. Soit la surface —, d'équation
On la coupe par un cyiinire de génératrices parallèles à O5 et ayant pour base un cercle C du plan des œy.
1° Montrer que la courbe"^ d' intersection est une biquadratique.
1° Il y a trois cônes du second degré contenant S. Montrer que deux d'entre eux, Qi et Q.,, ont leurs sommets respectifs sur deux droites fixes D, et D,. Chacun de ces cônes subit une translation rectiligne, quand le rayon de G varie, son centre restant ftxe.
3" Que doit être C pour que S se décompose en deux coniques ? Dans ce cas^ il n'y a plus qu'un seul cône véritable du second degré passant par S. Montrer que ce cône passe par une conique fixe quand C varie, en satisfaisant à la condition précédemment trouvée.
i^ Soit
(2) C = x2-i-r'— ('2a^ -^2;5yH-y) = 6
l'équation du cylindre. L'équ;ilion (i) peut s'écrire
(3) kz{x^-\- y-)-\- b-x--\- a- y-— A- z- — kz{a-+ b-) — a-b'^ = o. En tenant compte de (2), elle devient
(4) Q = /:s(2ax -+- 2^/ + y)
+ b'x'- + a'-y^ — k^z^ — kz{a^+ 6* )— «^' 6- = o.
La courbe S est Tinlersection des qnadriques (2) et (4); c'est donc bien une biqiiadrali(|ue.
2° Les cônes du second degré contenant S ont une équation de la f o r m e
INTERSECTION DES COXIQLES ET OIADRIQIE-. 4<»l
/ devant être tel que le? quatre é(}ualion5 dt'iivéeâ
( 6 ) b- .r -^ y.kz ^-'/AX — a i = o,
i 8 ) -iy.x -T- 1 3 V + •/ — ik z — rt - — A- = o .
(9) kz[-^ — a- — b^) — ia-^-— 2A(a^' — y r — 7 ) = o
soient compatibles.
Résolvons les trois premières. A cet ellel. nous tirons / de (6; et i de (7) ; mais, cela nécessite (À -h a-)( /. -h b^)^o. Commençons donc pai nous débarrasser des cas où cette condition n'est pas remplie.
Premier cas : /. =: — a-. — L'équaiion \- \ se réduit à
(f o) ji kz -f- a'i =ro.
Si 5^0, on en lire z ^zz • Portant dans (6). il vient ./ =1:0, en
supposant a - A. Portant enfin dans (81 et (9), on obtient deux lois l'équation
(11) 2 5 j' -i- y -I- t- = o (c-r=rt- — A-i.
Nos quatre équations sont donc actuellement coiupatibles et léqualioi:
(12) . Oj ^ T) — a- C z= o
représente un c''>ne ^}x. dont le sommet Pi a pour coordonnées
Ce sommet décrit, lorsque C varie, la droite JJ,, d'équations
Lorsque le ravon de C seul varie, y. et y ^c»nt constants et y variable. Le sommet Pj décrit hi droite D,. .Mais, le- termes du second degré de (17.) sont visiblement indépendants de y; donc, le cône C*i l'esté liomothétique à lui-même. Autrement dit. il subit une translation parallèle à D,.
Deuxicim- cas : /. = — A-. — On obtient de même un r.")ne CL, dont Haao. — Exercices. M. ~ 2'j
402 CIIAPITUK XXXII.
le sommet Pj décrit la droite D,, d'équations
Troisième cas : U. -F- «-)(/. -7- ^-)=z=o. — De (6) et (7), on lire
y.Ù-kz)
Portant dans (8) et (9), il vient deux équations qui peuvent s'écrire
>. 4- If- '/. -h a
l^!liminons z ou, ce qui revient au même. À — /, z ; nous obtenons
eal
Il est facile de voir que le coefficient de r — '—r- -+- : — est é
à 4 (}. 4- 6r-)( /. 4- (?/-); de sorte que les dénominateurs disparaissent et
l'équation se réduit finalement à
(17) f^l{ot'-^;:i'--i-y) = {a'-^b■'—yy-—l^{a■'a■'-^b'^^+a''b').
On en tire une valeur de /.. qui, portée dans (5), donnerait le troisième cône Q3.
3" Si la biquadratique S se décompose en deux coniques, deux des cônes précédents doivent se confondre avec le faisceau des plans de ces coniques (n° 491, IV). L'un de ces cônes est Qj ou Q^, soit, par exemple, Q,. Pour A =1 — a-, les équations (6), (7), (8), (g) doivent se réduire à deux. Ceci est impossible si 3 ^ o, car l'équation (11) ne saurait être vérifiée identiquement. Supposons donc j3 = o. L'équation (7) est^alors une identité. En tirant .r de (6) et portant dans (8) et dans (9), on doit obtenir deux équalious du premier degré en c identiques. Or, ces équa-
IXTKRSECTION llES COMQCE»; ET QLADRIQL ES. AOi
lions ne sont auLies que les équations (j6). où Ion ferait ). ^= — a- et 3 = 0. En écrivant qu'elles sont identiques, on aboutit donc à ce que devient l'équation 117 1 pour À ^ — a- et 3=0. soit, après des calculs faciles.
(y^C-)2 = 0, yz=z — C-.
L'équation U2) du cône Oj s'écrit, avec ces hypothèses, (18 j c-x--^{kz -h «-)■- — 2y.œ{kz -h a^) =:o.
Elle représente bien deux plans de la forme /, z ^- a-= u.jr. c'està-dire deux plans passant par la droite D,. Ces deux plans sont réels pour 3t-> C-.
Les conditions trouvées pour le cercle C peuvent slnterpréter en disant qu'il doit passer par l<^s foyers imaginaires de l'ellipse E. section de ^ par J'Oy.
Le cône O2 a maintenant pour équation
(19) c-y'--]-i/^'z -h h-){-i.y.x — kz — ia- — h"-) =>>.
Il est langent au plan z t= — —le long de la droite D.. Kn outre, lorsque y. varie, il passe con-lanimenl par la conique li\>' u: = u, c-v^ — (/. r — a-)-— c'i:=o,
(|ui est une hyperbole du plan des j-^. ayant son centre sur Dj.
Lorsque a = m c. les deux coniques qui constituent S se confondent, leur plan commun ayant pour équation
( 20 ) /, z --t- a- zz c a: :=: o.
Maïs, d'autre part, l'équation (2) se réduit à
Le cercle C dégénère suivant le- isotropes issues d'un des foyers réels de E; la Idquadratique S se compose donc de deux droites imaginaires doubles.
Si Ton partait des livpothèses >. = — b-. y.z=n, on aboutirait à des conclusions analogues aux précédentes. Le cercle C passerait par les foyers réels de E. et S se décomposerait en deux coniques, dont les plans se couperaient suivant 1>2.
4o4 CHAPITHE XXXll.
EXERCICES PROPOSÉS
1. Trouver les poinl> d'intersection ft les pôles doubles des couples de coniques :
a:"- + ./■/ — y- — I = o, .A- -i- -'i r- — J" — *) = f' ; 4.J7- — [^œy + J'- — 2^^ — / = 0. .r- -^ y'' — x + ôv — i :;= o ;
œ- + xy -V y- + x + r — - =o, x- --!- 7.r v + A^y- — .\x — S )• + :,=>.;
a - + xy — 2 1'- -T- 5x — 7/ — 4 ^= o. 2^- — jc -f- 8 y 4-7 = <> :
x- — xy -\- y'^ + y — 2 .r = o , 3 .r- — 3 œy -\- 2 a- — y m o;
X' n- 2xy ■+- 3 y- —1 = 0. X- 4- 2 .r y 4- 3 y- -h x — v = o ;
(j " 2.-r)-4- .?• = o, ( ■»■ — 2 jr)'4- y H- 1 = <».
2. On considère une ellipse E. Par se-; foyers F et F', on lait passer un cercle varial)ie G.
1° Discuter la réalité des points d'intersection des deux courbes.
2° On considère les tangentes à l'ellipse en ces points: lien des sommets du quadrilatère l'ormé par ces tangentes.
3° On considère le quadrilatère symétrique du précédent par rapport à FF'; lieu des points de rencontre des «ùlés des deux quadrilatères.
4° Lieu des points de contact avec G des tangentes communiîs aux. deux courbes. (]']. P., i88.o; composition écrite.)
o. On considère deux paraboles de même sommet et d'axes perpenfliculaires. L'une est fixe et l'autre variable. Quel est le lieu des points de contact de leurs tangentes communes avec la parabole variable?
i. Soit une parabole P. On la fait tourner autour de son sommet et l'on obtient ainsi une parabole variable O.
I" Les paraboles P et Q se coupent en deux points réels. Trouver le lieu du pôle double réel et l'enveloppe de la sécante qui joint les points imaginaires de l'intersection.
2° Li<iu des ombilics réels et lieu du point de contact avec 0 de la tangente commune réelle.
INTERSECTION DES CONIQUES ET Ql'ADRIQLES. 40 3
[Prendif pour paramètre l'angle 9 dont a tourné la parabole.
L'équation en "/. admet la seule racine réelle /. =r: — i. Il lui correspond deux sécantes rectangulaires, dont l'une est l'axe de symétrie de l'ensemble des deux paraboles.
Passer ensuite en langentielles. en changeant r en «, V en c, z en u-,
p en — • On a encore la racine /. = — i. qui donne un ombilic à l'infini
et un ornbil).' décrivant un cercle. La tangente commune réelle s'obtient
en utilisant l'ombilic à l'infini; on calcule ensuite les coordonnées du
point de conl;ict en fonction de o].
.'). Lludier les l)iquadratiques suivantes. On ehercliera, en particulier, les pôles doubles, les cônes, les décompositions, les contacts, et l'on vérifiera toutes les propriétés générales énoncées aux n"^ 488 à 492.
On pourra aussi construire les projections sur les plans de coordonnées et, pour les deuxième à cinquième cas. cbeiclier les équations paramétriques rationnelles :
