a*5 + i8a*r=o, o(j a désigne un paramètre variable

1° L'enveloppe V de cette quadrique se compose de quatre surfaces réglées du quatrième degré.

2° Chaque quadrique H touche E suivant un quadrilatère gauche ABCD. Montrer que chaque côté de ce (juadrilatère a un contact du second ordre avec les surfaces engendrées ])ar les deti\ côtés ([ui lui sont adjacents.

3° La tangente au lieu de A et la caractéristique du plan DAB divisent harmoniquement l'angle BAD. < >n a les mômes propriétés pour les trois autres sommets B, C, D,

4" Les lieux des sommets du tétraèdre ABCD, les arêtes de rebroussement des enveloppes de ses faces, les intersections des six surfaces réglées engendré(>s par ses arêtes se composent unicpiement de cubiques gauches, (pu admettent toutes une même définition géométrique très simple.

INJEUSECTIOX Di:S CONIQUES ET y U.VDKIQUES. ^0~

12. Deux triangles peuvent être conjugués à une même conique, inscrits dan-) une même conique, circonscrits à une même conique. Démontrer que s'ils jouissenl d'une de ces propriétés, ils jouissent des deux, autres.

(S'appuytT >ur les théorème> des n°^ iOT et V98.)

13. Démontrer que si un cercle est harmoniqucment circonscrit à une conique, il est orthogonal à son cercle de Monge et réciproquemeni {théorème de Faure). Examiner, en particulier, le cas de la parabole.

li. Lieux des centres des hyperboles équilatères conjuguées à un liiangle donné ou inscrites dans un triangle donné. (Appliquer le théorème précédent.)

1^. Lieu des centres des triangles équilatéraux conjugués, inscrits ou circonscrits a une conique donnée.

[Introduire les cercles circonscrit, inscrit, conjugué, qui doivent être concentriques. {Cf. Ghap. XXX\ . Exercice résolu n° 3.)]

1G. Démontrer, en s'appuvant sur le théorème du n° 4-98, que le cercle circonscrit à tout triangle circonscrit à une parabole passe par le foyer de cette parabole.

(Introduire le triangle formé par la droite de l'infini et les tangentes isotropes.)

17. Toute hvperboh' é(iiiilatère avant son centre au fover d'une parabole est harmoniquemenl circonscrite à cette parabole.

18. Soit une conique (î harinoniquement circonscrite à une autre conique (7. Soient A un de leurs points communs et T une de leurs tangentes communes. Démontrer que :

1° Le pi")le de la tangente en A à C par rapport à C se trouve sur C. 2° La polaire par ra|)port à (] du point de contact de 1" avec C est tangente à (^ .

Réciproques. — (Dégénérescences de triangles.)

19. Soient deux coniques C et C et V un de leurs points d'intersection. La tangente en A à (V coupe <1 en A'. Montrer rpie si la tangente en A' à (1 est tangente à (i . on a la même propriété en partant des trois autres point- d'intersection. ( Irianples de Poncelet dégénérés.)

20. Si deux 'parab<^le> ont même sommet et sont orthogonales en ce |>oint, il existe des triangles inscrits dans chacune d elles et circonscrits à l'autre.

I)ETERMINATION DES (ONIQUES ET OUADUIQUES ; ÉQUATIONS GÉNÉRALES; FAISCEAUX ET RÉSEAUX.

1. On donne un cercle (^, un point A et un point O. Exinte-t-il une (juadrique Q contenant 0 et A. et admettant le point O pour centre? Construire le plan tangent en A, le cône asymptote et les axes.

Le cercle C équivaut à cinq conditions ponctuelles, le point À à une et le point O à trois, ce qui fait en tout neuf conditions ponctuelles indépendantes. Donc la quadrique Q existe et est unique.

Pour construire le plan tangent en A, cherchons les génératiices issues de ce point (n° k\l). Elles s'appuient sur le cercle C et aussi sur le <'ercle C, symétrique de C par rapport à O, qui se trouve évidemment sur la quadrique. On les obtient en prenant les deux (^) génératrices G et G' dïnlersection des cônes (A, C) et (A, C). Chacune de ces deux droites appartient nécessairement à Q, car elle y a trois points, à savoir le point A, son point de rencontre avec C et son point de rencontre avec C. Le plan G.VG' estle/>/a« tangent cherché.

Le cône asymptote a pour base, dans le plan P de C, un cercle y concentrique à C. De plus, il contient les droites g et g\ menées par O parallèlement à G et G'. En prenant la trace de g, par exemple, sur le plan P, on a un point du cercle y, qui est dès lors déterminé.

Les axes de Q sont aussi les axes du cône asymptote. On est ramené à l'Exercice proposé n" 7 du Chapitre XXXl.

2. Former l'équation générale des paraboles II tangentes à Ojc et à Oy.

(') Il n'y a que deux génératrices d'inlcrseclion, parce que les cônes ont des bases circulaires dans des plans parallèles. Les deux autres génératrices communes sont isotropes, mais ne conviennent pas comme génératrices; de Q, parce qu'elles rencontrent chacune C et C au même point et n'ont, par suite, que deux points communs avec Q.