DÉTERMINATION DES CONIQUES ET QIADRIQLES; ÉQUATIONS GÉNÉRALES
Soii
Y- — 2pX =0
l'équation de la parabole (H) rapportée à son axe w\ et à sa tangente au sommet col. Soient (a, b) les coordonnées de w par rapport à O^y
et soit œ =: \Oic, 'jjXy. Les formules qui permettent de passer des axes O.ry aux axes wXY et inversement sont
(2) ^ = a — Xcoso — "^ sinç,, r = ^ + X sin 'j -^ ^ C0S9 ;
(3) X= (a- — rtjcoso -h- (y — ^)sina3,
Y =: — {.X — a) sino -i- ( j — Z>)coso. v
En particulier, en annulant./' ot j dans les formules (2), on obtient les équations de 0/ et Ox par rapport aux axes coXY :
X costp — Y sin o -\- a =0, X sin (o -f- Ycoso -\- h z=zo.
En portant les coefficients de ces équations dans l'équation tangentielle de la parabole (i) (n" o'i-2l, on obtient immédiatement
p SI n - o
1 coso
p cos-o
Portant dans (3 1, on a
X = .r coso -l-y sino — .— ? Y ^ — x sino -\- y coso — p cot2 o.
Portant enfin dans 1 1 ), (in a Téquation générale demandée : (5) (jcsino — j'coso + /:> cot2o)- — ip{ o^coso +/ sino — — J = 0.
Remarques. — I. Les équations (4) sont les équations paramétriques du lieu du sont nie t.
II. L'équation (5) doit pouvoir se mettre sous la forme (n" 507)
{ux + vy -\- iv Y + ). jcy = o.
Effectivement, si on la développe et qu'on l'ordonne, on aperçoit aisément qu'elle peut s'écrire
( X sino
V cos o
■ + 2.ry sin 2 o = o.
4lO CHAPITRE XXXllI.
L'équalion de la corde de contact est, comme on >ail.
(~) :r sin 9 -i- -»■ coso : = o.
3. Démonticr que les rayons de courbure de deux coniques bilangentes en leurs points de contact sont proportionnels. (E. P., 1906,)
Prenons pour oriirine le milieu des points de contact A et A' et pour
axe de- x la droite joignant ces points. Soit A'A = 2r/. Les coniques
proposées ont des é<|uations de la forme ( n° oOT 1
où A doit recevoir deux valeurs numérique- quelconques.
Soient ^j et 1' les ordonnées des centres des ceicles osculateurs en A
et A à la coni(|ue (ii. Le rapport-^, est égal au rapport des ravons de
courbure, multiplié par un facteur indépendant de /., puisque les normales en A et A' sont indépendantes de ce paramètre. I^our établir la
propriété de l'énoncé, il nous suffit donc de montrer ([ue ce rapport -^
est, lui au-si, indépendant de /.,
Calculons 5. A cet elTet, nous allons chenlier l"é(]uation du cercle
osculateur en A à la conique ( i). Cette équation est de la forme (n^oOT)
-T- ix[jro -T- r (Brt -h E) — «'][j)' — ni[,r — <"/)] ^^ ^>
u. et m devant être choisis de manière quelle représente un cercle. Annulons le coefficient de jcy et la diflférence des coefficients de x- et de >■- :
( 4 ) I — t. -r- y-l — ani — B a — E ] := o.
Ces deux équation- déterminent y. et ni. Non- avons ensuite ,^^ r — 2 E — u I ma ( B a -+- E ) — r/-| — 2 E — 2 r/ B
(d) 2:Sr=: ^— î^ ï^ i =: ,
I — •j.iini 1 — 'xani
en tenant compte de (3). Il nous suffit maintenant de calculer [j.ni. d'après (3 j et (41. Pour cela, nous multiplions (3) par V>a -\- E, (4) par a
DÉTEaMlNATION DES CONIQL ES ET QlADRIQrES; ÉQUATIONS GÉNÉRALES. .{iJ
et nous ajouton>
2B {Y'ui -h E)-\- a {i — '/. ) = y. m [( B ^/ + E ) - 4- ^t'] : d'où l'on tire ;//«, pui>
( B ri ^ E \" -^ a- — 2 aB (B a -h K) ~ a- ( j — /. 1
{Br( -i-E)--T- f/- /. r/--i- E- — B'^'-
{Ba-^Ey^fr Portant dans (5), on a enfin
En changeant a en — a, on a 3 . On voit ([ue le numérateur seul change. Comme il ne renferme pas À, il en résulte Ijien que le rapport ^ est indépendant de À. c. <^>. F. d.
'1. Soit une ellipse E ayant pour équation tnngenliclle
'j désignant une forme (juadraiiqae en u. f. Soit, d'autre part, le point P{y., P). Soient AB le diamètre conjugué de OP et Q le point où 01* rencohtie E. On prend, sur OP, le point P' tel que
ôp'^ôp'-^ôq'
et l'on considère l' ellipse E' bi tangente à E e/< A et B et passant par P'. Montrer que celte ellipse a pour équation tangenlielle ( ')
L'ellipse (2) est bitangente à (i), le pùle de contact avant pour é(|ualion tangentielle (^ n"» 508 )
( o ) cf.u -\- 'bv mo.
< le pôle est le point à riiifiiii sur <')P; donc, la corde de contact est le
(') Cette propositioîi se présente dans certaine- (|ii<si i'<iis (!-• Calcul des proljaililés. Cf. Nom elles A/uudes de Mathémati/jiies (avril, mai. juin n(Jo).
4l2 CHAPITRi: XXXIII.
diamèlre conjugué AB de OP. Soient mainlenanl
OQ OP
et
