V- -î't.z-iy.x -^ y J' "T~ y
Cette quadrique est un paraboloïde si le discriminant des termes du second degré est nul :
ou
détkumination i»i:s coniques et quauriqves: éqiatioxs générales. 4'^
Celle équalion du second deyré donne deux valeurs de À, auxquelles correspondenl deux paraboloïdes.
Si Ion lienl compte de a--f- 3-~ y';^ R'- Téquation (5 ) s'écrit
/.2R»— (/.y -r- ir:
Portant dans [i). on a les é({uations des deux paraboloïde- :
(3) ('/zïz R)(j- — j-^- ;- — R-; — 2z( y.a: — ly — y :■ — R^) = o.
Remarque. — En général, un faisceau ponctuel de (juadriques comprend trois paraboloïdes (n° oO-'i). Dans le cas actuel, il n'y en a que deux, le troisième élanl dégénéré suivant les plans di- <] et de C .
G. Soit la surface T (i) (\r--h i-)(.r -;- r/)-}- r-(.r — «)=:<>.
Montrer qu il y a une infinité de sphères S ayant leurs centres dans JcOy et orthogonales à T tout le lr>ng de V intersection. ( E. N.. 1S98; extrait de la composition t'crite.i
Soil
( 2 ) X- -f- >'- -T- z- — 2 y..i — :> jy -T- 0 ziz o
l'équation d'une des sphères S. Si l'on lient compte de celte équ-ation, léqualion (i) s'abaisse visiblement au second degré et s'écrit
( o ) xiiy. ./• -f- 2 3 )' — 0 ) -:- a { J-- 4- y- — ■ z- 1 =r . >.
L'inlerseclion (à di^lance finie) dt-s deux surfaces est donc une biquadratique T. Ecrivons qu'au point {x. y. z) de celte courbe, les plaD> tangenls à S et T sont perpendiculaires :
-i- (y — V)[2y(.r -î- a ^ \-^ z[2z{x — a)]r=o ou
3oC( .X---1- j--r- z-\ -T- (2rt — .ia)./ --f- (2a — Ci) y- — {:ia -\- oc)z-
— 2 y xy — :>ay. x — 2 a ''jy =: o .
En Itnanl compte de (2), celle équation s'abnisse encore au second
(li (IIAPITUK \XXIM.
degré et devient
( 4 ) ( 2 a + 3 a ) .r^ + ( 2 rt — y. )y'- — ( •'. a -\- y.)z-
-1- 4 j3 .ry — 2 a y X — 2 a 5/ -=: <>.
Elle doit être véiifiée pour tous les points de F. Autrement dit, rlle doit représenter une quadrjf|ue appartenant au faisceau
Identilions donc (1) et (5) :
( (i ) a H- 2 a + À — -r p ( 2 rt + 3 a ) ,
( 1 1 j 2 /,.j := 2 p rt 5 ,
(12) /O^ro.
11 faut qu'on puisse déterminer /. et o satisfaisant à toutes ces équations.
Prenons d'abord la dernière. Si l'on suppose 07=0, on en tire }. =ro. En portant dans les autres équations, on constate facilement quelles sont incompatibles, quels que soient a, j. Prenons donc 0=0.
Si jpio, l'équation (11) nous donne /. mpa et ré([uation (9) nous donne 2p:rzi. En portant dans les autres, on aboutit à la condition unique y.zzz — • a.
Llivpothèse 5=0 nous conduirait au même résultat.
En déllnitive, les sphères S ont pour équation générale
( 1 3 ) a;- + y- -f- G- -r- la.r — 2 3 r =: o.
Elles constituent un faisceau, dont le cercle de base est le cercle
x^-if z- 4- laûc =: 0 du plan des z.v.
7. Ouels sont les lieux des droites conjuguées d\ine droite Jixe et des pôles d'un plan Jixe par rapport à un faisceau ponctuel de quadriques ?
Soit une droite fixe D. Prenons-y trois points fixes quelconques A,, A2, A.j. Soient a,, a.,, y.^ leurs plans polaires par rapport à une qua-
DÉTER:MINATI0N' des coniques et QIADRIQLES; ÉQUATIONS GÉNÉRALES. 4l5
drique S du faisceau. Ces trois plans passent par la droite ô conjuguée de D par rapport à S. Lorsque S varie, :z,, a,, 'J-z passent respecti%'ement par trois droites fives G,, Go, G3 (n° 505). La droite 0 s'appuie constamment sur ces trois droites. Donc, elle décrit une quadrique Q, contenant G,, (io- G3.
Cette quadrique. d'après la démonstration même, peut èive considérée aussi comme le lieu de la droite G, enveloppe des plans polaires d'un point A, quand ce point décrit D. Les droites 0 constituent un système de génératrices de Q et les droites G constituent l'autre système.
Si l'on prend pour S un cône du faisceau, 0 passe par le sommet de ce cône. Donc, la quadrique Q contient les quatre pôles doubles.
Soient maintenant un plan fixe P et deux droites fixes quelconques D, et Do prises dans ce plan. Le pôle M de P par rapport à S se trouve sur les droites 0, et 6j conjuguées de D, et Do. Le lieu de ce point est donc à la fois sur les quadriques O, et O,, lieux de o, et 0.,. Or, ces quadriques ont en commun la droite G correspondant au point A où se coupent Di et Do. Le reste de leur intersection est donc une cubique gauche Y, qui constitue le lieu du point M.
liemarquons que cette cubi<|ue se trouve sur toutes les quadriques Q correspondant aux différentes droiters du plan P. Ses cordes sont les droites G associées aux différents points de P. Enfin, elle passe par les pôles doubles du faisceau.
EXERCICES PROPOSÉS
L Une conique étant déterminée par cin([ points i, 2, 3, 4, 5 : 1° Construire son deuxième point de rencontre avec une droite quelconque D passant par le point i;
■2° Construire ses points de rencontre avec une droite quelconque A;
3" Construire son centre;
4° Construire deux diamètres conjugués.
[Pour 1° et 2°, appliquer le théorème de Desargues {voir aussi Chap. XXXVIl, Exercice proposé n" 16 ). Pour 3% construire la corde iG parallèle à 22; on en déduit un diamètre, etc. Pour 4°- appliquer 3° et 2°.]
•2. Problème corrélatif du précédent.
(Le centre peut être obtenu par finlersection de deux droites de Newton. On peut aussi construire la tangente parallèle à l'une des tangentes données. )
4lO < II.Vf'lTRK \\XIII.
3. Construire une conique, connai?sant quatre points et une tangente ou quatre tangente? et un point (théorème de Desargue>).
k. Construire une coni(|ue, connaissant trois point- A, B. C et deux tangentes T et T'.
(Chercher les points de contact .M et .M' avec ces tangentes, en considérant le faisceau des coniques tangentes à T et T' en M et M' et appliquant le théorème de Desargues aux droites AB et AC. La corde M.M' doit passer par les point? doubles, i
